3.3.2抛物线的简单几何性质（教案）2024-2025学年 高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 教案 学习目标 1.理解抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题. 教学重难点 1.教学重点：椭圆的几何性质. 2.教学难点：椭圆性质的理解和应用. 教学过程 新课引入 下面，我们根据抛物线的标准方程①来研究它的一些几何性质. 新知积累 1.范围 在方程①中，因为，，所以抛物线①上的点的横坐标都满足. 于是，抛物线在y轴的右侧，并且向右无限延伸. 当x的值增大时，也增大，说明这条抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性 在标准方程中，将y换成，方程①不变，说明这条抛物线关于x轴对称，x轴是它的对称轴. 每一条抛物线有唯一一条对称轴，称为抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点. 在方程①中，当时，，因此，抛物线①的顶点为坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，用e表示. 由定义可知，. 例题巩固 例3 已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点，求该抛物线的标准方程. 解 由于抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点，因此可设它的标准方程为. 将点的坐标代入方程，得，即. 因此，所求抛物线的标准方程为. 例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求. 解 （方法一）设，. 由已知可得直线l的方程为.① 又抛物线的焦点坐标为，故抛物线的方程为.② 联立①、②，消去y可得.③ 由一元二次方程的根与系数的关系得，. 于是 （方法二）如图. 设，. 过A，B分別向准线作垂线，垂足为，. 由抛物线的定义可知，， 于是. 由方法一中的方程③可知， 于是. 例5 已知抛物线C:，直线l过定点. 讨论直线l与抛物线的公共点的情况. 解 （I）若直线l的斜率存在，记为k. 又直线过定点，可设直线l的方程为.① 由方程组②，消去y，并整理得.③ （1）当时，由方程③得. 代入方程①，得. 这时，直线l与抛物线只有一个公共点. （2）当时，方程③的判別式. 若，解得. 于是，当，且时，方程③有两个不相等的实数解，从而方程组②有两组实数解. 这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点. 若，解得. 于是，当时，方程③有两个相等的实数解，从而方程组②只有一组实数解. 这时，直线l与抛物线有一个公共点. 若，解得. 于是，当时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解. 这时，直线l与抛物线没有公共点 （Ⅱ）若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线相切，即有一个公共点. 综上可得： 当，或，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点； 当，且时，直线l与抛物线有两个公共点； 当时，直线l与抛物线没有公共点. 直线l与抛物线C的位置关系如图所示. 课堂练习 1.若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值为( ) A. B.0 C.或0 D.8或0 答案：C 解析：若，则直线与抛物线只有一个交点；若，由得，则，所以.综上可知或，故选C. 2.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则该等边三角形的边长为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：依据抛物线的对称性，可设另外两个顶点的坐标分别为，，则，解得，故该等边三角形的边长为. 3.已知A，B是抛物线上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，点是线段AB的中点，则( ) A.C的准线方程为 B.当直线AB的斜率k存在时， C.当A，B，F三点共线时， D.若，则的最小值为 答案：BC 解析：抛物线的准线方程为，A错误；设点，，因为A，B在抛物线C上，所以，，所以，若直线AB的斜率k存在，则，B正确；当A，B，F三点共线时，，C正确；，，，所以，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以的最小值为，D错误. 小结 ... ...