第3章 圆锥曲线与方程 3.5 圆锥曲线的应用 教案 学习目标 1.了解圆锥曲线的发展和应用. 2.掌握圆锥曲线在天体运行轨道、斜抛物体轨迹、光学性质以及现代建筑中的应用与体现. 教学重难点 1.教学重点：圆锥曲线的应用. 2.教学难点：圆锥曲线的应用. 教学过程 新课导入 前面，我们利用实验的手段初步认识了圆锥曲线，并通过代数方法来研究圆锥曲线的几何性质. 事实上，圆锥曲线在自然界客观存在. 人们通过科学研究发现了它，并利用其独特的物理性质，在科学探索和生产实践中发挥着重要的作用. 新知积累 1.天体运动的轨道 翻开人类科学探索史，仰望星空、测量并记录日月星辰的运动以理解我们所处的宇宙是人们孜孜以求的重要主题. 在相当长一段时间内，人们都认为地球是宇宙的中心，而所有恒星和行星都围绕地球旋转. 直到1543年，波兰人哥白尼提出“日心说”才纠正了这一错误，但他和其他天文学家认为行星运行的轨道是圆形的. 德国人开普勒根据第谷观测行星运动的大量数据提出：火星是沿着一条椭圆的轨道围绕太阳运行，而太阳不是椭圆的中心，而是在椭圆的一个焦点上. 开普勒将其研究发现总结为开普勒行星运动定律，这激发了人们更深入的思考. 牛顿根据开普勒定律得出了万有引力定律，人们按照万有引力定律可以推出，太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在椭圆轨道上运行，而某些天体的运行速度若增大到某种程度，它就会沿抛物线或双曲线运行. 2.斜抛物体的轨迹 运动场上推出的铅球、投出的篮球，都是斜抛物体，它们的运动轨迹近似于抛物线. 喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体，水柱的形状也接近于抛物线. 3.光学性质及其应用 椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都具有丰富的光学性质. 下面分別举例说明. 椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面. 以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点F1发射的光线，经旋转椭球面的反射后，都聚集在另一个焦点F2处，如图所示. 人们利用这一性质来设计电影放映机的聚光灯的反射镜面，将光源安置在椭圆的一个焦点处，将电影胶片放于另一个焦点处，这样，光源发出的光线经镜面反射后全部聚于另一焦点处，以最强的光线照亮电影胶片，如图所示. 双曲线绕实轴旋转一周形成一个旋转双曲面. 从旋转双曲面的一个焦点F2发射的光线，经过旋转双曲面的反射，会使得光线散开，而且这些光线就好像是从另一个焦点F1发射出来的一样，如图所示. 双曲线这种反向虚聚焦的性质，在天文望远镜的设计中有着重要的应用. 抛物线绕它的对称轴旋转一周形成一个旋转抛物面，将光源放在焦点F处，光源发出的光线，经旋转抛物面反射后，成为一束平行于对称轴的光线，如图所示. 汽车前灯和探照灯的制作就是利用这一性质. 再根据光的可逆性，当旋转抛物面的轴与光线平行时，光线经反射后集中于焦点处，如图所示. 利用抛物线的这一光学性质，人们将射电望远镜设计成旋转抛物面，可以接收宇宙中极远距离发出的光线，这将有助于拓宽人类的视野，以探寻茫茫宇宙的奥秘. 4.圆锥曲线在现代建筑中的应用 圆锥曲线广泛存在于现实世界，它线型简洁美观而富有张力，同时还具有某些很好的力学性质，故而被建筑设计师们所推崇并采用. 一座座曲线优美并富有现代感的钢结构建筑拔地而起，会给人带来美的享受. 圆锥曲线的发现源于古希腊几何学的研究，随着17世纪笛卡儿坐标系以及解析几何方法的出现，圆锥曲线这一沉睡千余年的几何明珠又焕发新的生机. 伽利略曾说过：“大自然这本书是用数学语言写成的.”当人们用数学的眼光来观察世界、用数学的思维来分析世界、用数学的语言来表达世界时，原来天地之间，圆锥曲线无处不在. 回溯圆锥曲线的研究历程，其内涵和形式闪耀光芒，而数学的发现与应用更是激动人心，这将促使我们在科学 ... ...
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