3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 一、选择题 1.双曲线-=1的焦距为 ( ) A.6 B.3 C.2 D.1 2.焦点分别为(-2,0),(2,0),且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为 ( ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.y2-=1 D.-=1 3.已知F1,F2是平面内两个不同的定点,则“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.[2024·益阳高二期末] 点M(x,y)的坐标满足-=8,则点M的轨迹方程为 ( ) A.+=1 B.-=1 C.-=1(x>0) D.-=1(y>0) 5.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长为 ( ) A.17 B.16或12 C.20 D.16或20 6.[2024·福建南平一中高二月考] 设双曲线C2与椭圆C1:+=1有公共焦点F1,F2.若双曲线C2经过点A(1,0),设P为双曲线C2与椭圆C1的一个交点,则∠F1PF2的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P是C上一点,且位于第一象限,·=0,则P的纵坐标为 ( ) A.1 B.2 C. D. 8.(多选题)[2024·河南商丘高二期中] 已知方程+=1(m≠±1)表示曲线C,则下列结论正确的是 ( ) A.若m=3,则曲线C是圆 B.若曲线C是椭圆,则m>3 C.若曲线C是双曲线,则m<1且m≠-1 D.若m<-1,则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 9.(多选题)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是 ( ) A.||PA1|-|PA2||=2a B.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值 C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个 D.若·=b2,则·=0 二、填空题 10.若双曲线-=1的焦点与椭圆+=1的焦点重合,则m= . 11.[2024·天津西青区高二期末] 已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1,F2,焦距为20,点P是双曲线上一点,|PF1|=17,则|PF2|= . 12.已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,P为双曲线上任意一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|= . 三、解答题 13.(1)求与双曲线-y2=1有公共焦点,且过点(,)的双曲线的标准方程. (2)已知圆C1:(x+2)2+y2=,圆C2:(x-2)2+y2=,动圆P与圆C1,C2都外切,求动圆圆心P的轨迹方程. 14.[2024·安徽芜湖一中高二月考] 已知点A(-2,0)与点B(2,0),P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于. (1)求动点P的轨迹方程; (2)若点O为原点,P在第二象限,当|OP|=时,求点P的坐标. 15.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况,如图所示,已知三个发射台分别为A,B,C且刚好三点共线,已知AB=34海里,AC=20海里,现以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.根据船P接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P在双曲线-=1的左支上,根据船P接收到A发射台与B发射台发出的电磁波的时间差,计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,则点P的坐标为 ( ) A. B. C. D.(45,±16) 16.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)的一个交点为P,且有公共的焦点F1,F2,若∠F1PF2=2α,求证:tan α=. 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 1.A [解析] c==3,故焦距为2c=6.故选A. 2.A [解析] 由双曲线的定义知,2a=-=5-3=2,所以a=1.又c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1. 3.B [解析] 动点M的轨迹是双曲线能推出||MF1|-|MF2||为定值,反之不成立,若定值大于或等于两个定点的距离,则动点的轨迹不是双曲线.因此“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨 ... ...
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