3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 一、选择题 1.已知双曲线的方程为x2-8y2=32,则该双曲线的 ( ) A.实轴长为4,虚轴长为2 B.实轴长为8,虚轴长为4 C.实轴长为2,虚轴长为4 D.实轴长为4,虚轴长为8 2.双曲线-=1的离心率为 ( ) A. B. C. D. 3.点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为 ( ) A. B. C. D. 4.已知双曲线C:-=m(m≠0),则当实数m变化时,这些双曲线有 ( ) A.相同的焦点 B.相同的实轴长 C.相同的离心率 D.相同的渐近线 5.已知双曲线-=1(a>0,b>0),过左焦点F作一条渐近线的垂线,记垂足为P,点Q在双曲线上,且满足=,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.2 6.[2024·重庆八中高二期中] 如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,则冷却塔的最小直径为 ( ) A. cm B. cm C. cm D. cm 7.[2024·深圳中学高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),点B的坐标为(0,b),若C上的任意一点P都满足|PB|≥b,则C的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C.(1,] D.[,+∞) 8.(多选题)[2024·湖南雅礼中学高二月考] 已知曲线+=1(m∈R),则下列说法正确的是 ( ) A.若该曲线是双曲线,则m>4或m<2 B.若m∈(2,4),则该曲线为椭圆 C.若该曲线的离心率为,则m= D.若该曲线为焦点在y轴上的双曲线,则离心率e∈(1,) 9.(多选题)已知双曲线-=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,则下列结论正确的是 ( ) A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为y=±x C.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为9 D.点P到两条渐近线的距离的乘积为 二、填空题 10.已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为 ,C的焦点到其渐近线的距离是 . 11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,双曲线上的点到焦点的最小距离为-3,则双曲线上的点到点A(5,0)的最小距离为 . 12.[2024·河南商丘部分学校高二期中] 已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M是C右支上的一点,∠F1MF2=θ,△MF1F2的周长为4a+2c,面积为a2cos θ,则C的离心率为 . 三、解答题 13.求下列双曲线的标准方程. (1)与双曲线-=1有共同的渐近线,并且经过点(,-1); (2)等轴双曲线C与椭圆+=1有公共的焦点; (3)双曲线C的渐近线方程为y=±x,两顶点间的距离为6. 14.[2024·安徽滁州九校高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为a2,求双曲线C的渐近线方程; (2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率. 15.(多选题)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2的内心,若=+λ,则下列结论正确的是 ( ) A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30° B.双曲线的离心率e= C.λ= D.点I的横坐标为定值a 16.对于双曲线C1:-=1(a>0,b>0),定义C2:+=1为其伴随曲线,记双曲线C1的左、右顶点分别为A,B. (1)当a>b时,记双曲线C1的焦距为2c1,其伴随曲线C2的焦距为2c2,若c1=2c2,求双曲线C1的渐近线方程; (2)若双曲线C1:-=1,弦PQ⊥x轴,记直线PA与QB的交点为M,求动点M的轨迹方程. 3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 1.B [解析] 双曲线方程x2-8y2=32可化为-=1,可得a=4,b=2,所以该双曲线的实轴长为8,虚轴长为4.故选B. 2.A [解析] 由双曲线方程-=1得b2=9,a2=4,所以c2=b2+a2=13,所以双曲线-=1的离心率e==,故选A. 3.A [解析] 由题意可知,双曲线的渐近线方程为-=0,即3x±4y=0,结合对称性,不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离,则所求距离为=.故选A. 4.D [解析] 当m>0时,-=m可化为-=1,∴ ... ...
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