3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程 一、选择题 1.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是 ( ) A.x2=4y B.x2=-4y C.x2=8y D.x2=-8y 2.[2024·河北沧衡八校联盟高二期中] 若P为抛物线y2=4x上一点,且P到焦点F的距离为9,则P到y轴的距离为 ( ) A.7 B.10 C.8 D.9 3.[2024·成都石室中学高二期中] 点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线的焦点F的距离为4,则点P的横坐标为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若|AF|=10,则|y1-y2|= ( ) A.10 B.12 C.14 D.16 6.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的一个动点,Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为 ( ) A.7 B.7 C.8 D.8 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,以点M为圆心的圆与直线x=交于E,G两点.若sin∠MFG=,则抛物线C的方程是 ( ) A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x 8.(多选题)[2024·云南玉溪高二期末] 已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,P是抛物线C上的一点,O为坐标原点,若|PO|=,则 ( ) A.F B.F(0,1) C.|PF|=2 D.|PF|= 9.(多选题)设抛物线y2=8x的顶点为O,焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点,直线OM交抛物线的准线于点N,下列结论正确的是 ( ) A.若|MF|=4,则|OM|=2 B.若|MF|=4,则O为线段MN的中点 C.若|MF|=8,则|OM|=4 D.若|MF|=8,则|OM|=3|ON| 二、填空题 10.[2024·安徽滁州九校高二期中] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(p,y0)是抛物线C上的一点,若|PF|=9,则p= . 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作l的垂线交l于点E,且∠PFE=60°,|PF|=6,则抛物线C的方程为 . 12.如图,某河流上有一座抛物线形的拱桥,已知桥的跨度AB=10米,高度h=5米(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨,导致河水从桥的基座A处开始上涨了1米,则此时桥洞中水面的宽度为 米. 三、解答题 13.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)经过点(-3,-5); (2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6; (3)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积等于4. 14.已知点F(2,0),直线l:x=-2,动点P到点F的距离与它到直线l的距离相等. (1)试判断动点P的轨迹C的形状,并写出C的方程; (2)求动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值. 15.用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆,用一个不垂直于轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴所成的角θ不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此,我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥的轴截面半顶角为α,则截口曲线形状与θ,α有如下关系:当θ>α时,截口曲线为椭圆;当θ=α时,截口曲线为抛物线;当θ<α时,截口曲线为双曲线.现有一定线段AB,其与平面β所成的角为φ(如图),B为斜足,β上一动点P满足∠BAP=γ,设P点在β内的运动轨迹是Γ,则 ( ) A.当φ=,γ=时,Γ是抛物线 B.当φ=,γ=时,Γ是双曲线 C.当φ=,γ=时,Γ是圆 D.当φ=,γ=时,Γ是椭圆 16.如图所示,A地在B地北偏东45°方向,相距2 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km. 已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A地、B地送电. (1)试建立适当的平面直角坐标系,求曲 ... ...
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