2.2基本不等式 教学设计 《基本不等式》在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。 课程目标 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 数学学科素养 1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程； 2.逻辑推理：基本不等式的证明； 3.数学运算：利用基本不等式求最值； 4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题； 5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。 重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值； 难点：基本不等式的推导以及证明过程． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 情景导入： 在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本44-45页，思考并完成以下问题 1. 重要不等式的内容是？ 2.基本不等式的内容及注意事项？ 3.常见的不等式推论？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1.重要不等式 2.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:_____. (2)等号成立的条件:当且仅当_____时取等号. 注意：一正二定三等. 3.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥_____(a,b∈R). (2) ≥____(a,b同号). (3) (a,b∈R). (4) (a,b∈R). 4. 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为_____,几何平均 数为_____，基本不等式可叙述为：_____. 四、典例分析、举一反三 题型一 利用基本不等式求最值 例1 求下列各题的最值. （1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值； （2）x>0,求 的最小值； （3）x<3，求 的最大值； 【答案】见解析 【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10. 当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立. (2)∵x>0, 等号成立的条件是 即x=2, ∴f(x)的最小值是12. (3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0, 当且仅当 即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1. 解题技巧：（利用基本不等式求最值） (1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值； (2)根据已知范围，确定两式的正负符号； (3)根据两式的符号求积或和的最值. 总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”. 跟踪训练一 （1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x< 求函数 的最大值; （3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值. 【答案】见解析 【解析】 题型二 利用基本不等式解决实际问题 例2 （ １ ） 用篱笆围一个面积为１００的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？ （ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 【答案】见解析 【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为m. (1)由已知 由 ≥，可得 所以, 当且仅当=10时，上式等号成立. (2)由已知得，矩形菜园的面积为 由 = = 9,可得81， 当且仅当=9时，上式等号成立. 解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题) 设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”） 跟踪训练二 1. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米. （1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长 ... ...
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