2024丘成桐女子数学竞赛试题 题1，证明：对任意m阶正定是对称矩阵A,B,均有Wdet(A+B)≥VdetA+Vdet B 并说明等号成立的条件， 题2.已知0odr=,求0°(r)2d,0(n)3dr. 题3.GL(,C)为所有级可逆复矩阵构成的集合，T,为其中所有的上三角矩阵构成的 子集.矩阵P∈GL(m,C),定义集合PTnP-1={PAP-A∈Tn}.求∩PTnP-1 P∈GL(n,C) 题4.计算级数：∑ (-1)0 3"n(+1/2 三1 题5.f:2(R)→R为连续函数，满足(A)=f(A2)对任意A∈山2(R)成立，求所有 这样的∫. 题asrg={（么）h.bodcZ.de4=l 1)求所有SL(2,Z)中的有限阶元的阶的所有可能值； 阅求所有的：eC使得Im:>且{A=（C9）A∈S,幻，器- 中至少有 3个元素 2024丘成桐女子数学竞赛 参考解析 题1.证明：对任意n阶正定对称矩阵A,B,均有√/det(A+B)≥detA+VdetB,并 说明等号成立的条件 【解析】由实对称正定矩阵的性质可知，存在实对称正定矩阵Q使得A=Q2.记 X=QBQ1,易知其为正定对称矩阵，且det(X)=积 于是要证的不等式等价于V√det(I,+X)≥1+V√det(X). 设X的特征值（何重）为，…，>0则只需证明(1+》≥1+音中 也即证明1≥（中）片+()片，注意到 +空中+月 5=1 1+x 所以原不等式成立，且等号成立当且仅当x1=·=m,即B=kA(>0) 题2.已知0o'dr=,求0o(m)2dr,()3dr 【解析】 2sint cos -dx sin2x 十00 sin x dx= sin 3sin a sin 3a sin 3x-3 sin a +o dx o 4 2 8a2 3cos -3 cos32 dr= 3+o-2sin2号+2sin2y dx= 3 +-sin2x dr 8x2 8J 8J x2 9 ftoo sin2 3 3x dx=4 Jo a证 8 题3.GL(n,C)为所有n级可逆复矩阵构成的集合.Tn为其中所有的上三角矩阵构成的 子集.矩阵P∈GL(n,C),定义集合PTnP-1={PAP-lA∈Tn}.求∩PTnP-1 PEGL(n,C) 【解析】设X∈ ∩PTnP-l,则对P∈GL(m,C),X∈PTnP-l,即P-lXP∈Tn PEGL(n.C) 取单位阵P=Im,可得X∈T,.我们下面说明X必为对角矩阵： 若存在1≤i
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
