第4章 锐角三角函数 (90分钟 100分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列式子表示sin B错误的是(D) A． B． C． D． 【解析】∵在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D， ∴sin B＝＝＝. 2．下列计算正确的是(B) A．sin 60°－sin 30°＝sin 30° B．sin 245°＋cos 245°＝1 C．cos 60°＝ D．cos 30°＝ 【解析】A.原式＝－≠，故A错误； B．＋＝1，故B正确； C．cos 60°＝，＝，故C错误； D．cos 30°＝，＝，故D错误． 3．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cos α，阻力臂L2＝l·cos β，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是(A) A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定 【解析】∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值>0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cos α的值越来越大， 又∵动力臂L1＝L·cos α，∴此时动力臂也越来越大， ∴此时的动力越来越小． 4．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c＝3a，则sin A的值是(A) A． B． C．3 D．以上都不对 【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c＝3a， ∴sin A＝＝＝. 5．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tan C的值是(B) A． B． C．1 D． 【解析】∵在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，∴∠C＝30°，∴tan C＝. 6．(2024·张家界质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为(C) A． B． C． D． 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴cos B＝＝，设BC＝x，AB＝3x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝. 7．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC等于(A) A．1 B． C． D． 【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝， ∴CD＝AC＝.在Rt△BCD中， ∵sin 45°＝＝，∴BC＝1. 8．(2023·陕西中考)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，BD，则的值为(D) A． B． C． D． 【解析】设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO， AC⊥BD， ∠ABD＝∠ABC＝30°， ∵tan ∠ABD＝＝，∴＝. 9．(2023·十堰中考)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是(D) A．m B．5 m C．15 m D．m 【解析】由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15 m，AB＝1.5 m， ∴BC＝AD＝15 m，AB＝CD＝1.5 m， 在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15 m， ∴DE＝AD·tan ∠EAD＝15×＝5(m)， ∴CE＝DE＋CD＝(5＋1.5)(m). 10.海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为(B) A．5 B．6 C．6 D．8 【解析】作AC⊥BD于点C. ∠ABD＝90°－75°＝15°， ∵∠ADC＝90°－60°＝30°， ∴∠BAD＝∠ADC－∠ABD＝30°－15°＝15°， ∴∠ABD＝∠BAD， ∴BD＝AD＝12海里， 在Rt△ADC中，AC＝AD＝×12＝6(海里).∴a的最大值是6. 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝2，sin A＝，则c＝__6__． 【解析】如图， ∵a＝2，sin A＝，∴c＝＝＝6. 12．计算：sin260°＋tan230°－cos245°＝． 【解析】原式＝＋－ ＝＋－＝. 13．(2023·梧州中考)某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图)，点A到桥的距离AC是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是__326__米．(结果精确到1米) ... ...
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