5.1.2 弧度制 课件（共21张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(课件网) 5.1.2 弧度制 学习目标 1.掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数． 2.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用． 问题导入 生活中在度量时，会用到不同的单位制. 比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制； 度量质量可以用千克、磅等不同的单位制； 角的度量我们用度进行度量，它是否也能用不同的单位制呢？ 是否可以用十进制的实数来度量角的大小？ 新课讲授 一、角的度量与角度制 从开始学习角，我们对角的大小的度量就一直是以度作为单位的，这种度量角大小的方法，称为角度制. 用来度量角的单位都是“°”(度)，它的度量依据是，把一个圆周等分成360份，每一份所对的圆心角的大小称为1度(1°) 角度制有它的弱点，比如，它的进位制是60进位制的，1°=60’， 1’=60”。在实数范围内研究时不太方便. 有没有其它度量角大小的更好的方法呢？ 如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的一点P （不同于点O）的轨迹是 一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α． 设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为． 由初中所学知识可知， 于是 想一想：如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ=r1.在旋转过程 中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为1．1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？ Q点 P点 结论：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数，这个比值只与α的大小有关，随α的确定而唯一确定． 因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角． 1.弧度制 我们规定：长度等于 长的 所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示，读作弧度，rad 一般可以省略．这种以弧度为单位度量角的制度，称作“弧度制”. 半径 圆弧 2.弧度数的计算 3.用弧度制表示的角是一个实数（比值），α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于２π或小于－２π的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角． 一般地，正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一 个负数， 零角的弧度数是０． 请你说说弧度制与角度制有哪些不同？ 第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”； 第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制； 第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值. 第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的 ； 练1.下列说法正确的是( ) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 A 因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π， 而圆周角的角度数是360°， 于是我们有了弧度与角度的换算关系. 二、弧度与角度的换算公式 (1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360°，于是360°＝2π rad，即π=180°， 1rad= ≈57.3° 1°＝ (2) 0 90° 60° 180° 270° (3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起_____关系： 每一个角都有唯一的一个_____(即这个角的弧度数)与它对应； 反过来，任一个实数也都有唯一的一个_____(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 一一对应 实数 角 例1 将下列角度与弧度进行互化: 初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 例2 利用弧度制证明下列关于扇形的公式： （１）；　 （２）；　 （３）． 其中R是圆的半径，α（０＜α＜２π）为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积． 证明：由公式可得． 下面我们证明（２）（３）． 初中学过，在角度制下，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 ... ...