/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学 第3章 圆的基本性质 题型1.垂径定理的应用 1 题型2.弧、弦、圆心角的关系 3 题型3.圆周角定理及其推论的应用 6 题型5.正多边形和圆的有关计算 11 题型6.正多边形中的规律探究性问题 13 题型7.圆锥侧面展开图的有关计算 16 题型8.不规则图形面积的计算 19 题型9.利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题 23 专项训练 26 题型1.垂径定理的应用 1.（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 【答案】这根圆形木材的直径为26寸 【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解决问题的关键是从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解． 【详解】解：由题可知，∵为半径，∴尺寸， 设，∵，∴， 在中，由勾股定理得，解得， ∴这根圆形木材的直径为26寸． 2.（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 【答案】该圆材的直径为20寸 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径． 【详解】解：设该圆材的半径为寸． 如图所示，过点作 于点，交于点，连接， 则寸，设寸，尺寸，所以 寸． 在中， 即 解得， 则，即该圆材的直径为寸． 3.（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为桌面截线，水面截线，直径一端点B刚好与点N重合，． (1)计算的长度，并比较直径与长度的大小；(2)请在图中画出线段，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度． 【答案】(1)的长度为；直径小于长度(2)水的最大深度为 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理，含30度角的直角三角形，弧长公式． （1）连接，由，，求出，根据弧长公式即可求解； （3）过点O作交于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，由，求出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接． ，，， ，，直径小于长度； （2）解：如图，过点O作交于点C， 在中，，， ，， ，水的最大深度为． 题型2.弧、弦、圆心角的关系 1.（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：；(2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得；（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，∴∴，即．∴． （2）证明：连接 ∵∴ ∴ ∴ ∵∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 2.（23-24九年级·湖南湘西·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明： ... ...
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