3.4 函数的应用 【学习目标】 （1）能建立函数模型，利用已知函数模型解决实际问题（数学建模、数学运算） （2）了解拟合函数模型并解决实际问题（数据分析） 【重点难点】 建立数学模型，解决实际问题 【导问引领，新知生成】： 问题：现实世界里有很多问题可以用一次函数、二次函数、幂函数等来解决。通常包括两个方面： （1）利用已知的函数模型解决问题； （2）建立恰当的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。 新知：不同的函数模型能刻画不同的变化规律： （1）线性函数增长适合于描述增长速度不变的变化规律； （2）幂函数增长模型适合于描述速度一般的变化规律。 故需抓住变化信息准确的建立函数模型来解决实际问题。 【实例研究，提升技能】： 实例1、一家庭（父亲、母亲、孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其他人可享受半票优惠。”乙旅行社说：“家庭旅游为集体票，按原价的优惠。”这两家旅行社的原价是一样的，试就家庭孩子数分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠？ 导问1.依题意收费都跟什么数量有关？所以如何设未知数？ 导问2.旅行社的原价不知道如何解决？ 导问3.各旅行社收费与家庭人数的关系如何？如何体现取那个旅行社更优惠？ 【及时总结】：解决这些常见函数模型的实际应用题时，要“求什么，设什么，列什么”，解决最值问题常常转化成不等式，解答时要注意变量的取值范围，然后结合图像或单调性解决。 实例2、经市场调查。某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足 价格为 （1）求该种商品的日销售额与时间t的函数关系； （2）求t为何值时，日销售额最大。 总结：利用二次函数求最值的方法及注意点： （1）方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题； （2）注意：取最值时的自变量与实际意义是否相符。 实例3.某公司研发A、B两种芯片耗费资金2千元，现在准备投入资金进行生产。经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x （千万元），已知每投入1千万元，公司可获得0.25千万元的毛收入；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为，其图像如图所示： （1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式。 （2）如果公司只生产一种芯片，那么生产那种芯片毛收入更大？ （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A、B两种芯片，设投入m千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润。当m为多少时，可以获得最大净利润？求出最大净利润（净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金） 总结：幂函数的应用求解策略： （1）给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式。 （2）根据题意，直接列出相应的函数关系式。 【巩固训练，检测成果】： 1.某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，至少日产手套（ ） A 200副 B 400副 C 600副 D 800副 2.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产1单位产品，成本增加10万元，又知总收入K（万元）是单位产品数Q的函数，且,则总利润的最大值是 万元。 3.一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v与时间t的关系图象如图所示，则当 t=2时，汽车已行驶的路程为( ). A.100km B.125 km C.150 km D.225 km 4.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( ). ... ...
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