第4章 计数原理 4.2 排列 教案 学习目标 1.理解排列、排列数的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 3.能熟练地运用排列知识解决一些有关排列的实际问题. 教学重难点 1.教学重点：排列、排列数的概念. 2.教学难点：排列知识解决实际问题. 教学过程 情境引入 教师提出问题1：平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的有向线段共有多少条？ 学生思考回答：要解决这个问题，可以分2个步骤完成. 第一步，确定有向线段的起点，在5个字母中任取1个，有5种方法； 第二步，确定有向线段的终点，从余下的4个字母中任取1个，有4种方法. 根据分步乘法计数原理，共有（条）不同的有向线段，如图所示. 由此可写出所有的有向线段：；；；；. 教师提出问题2：从4名运动员中选出3名参加一项比赛，并排定他们的比赛顺序，有多少种不同的方法？ 学生思考回答：要解决这个问题，可以分3个步骤完成. 第一步，先选定第一名比赛队员，在4名运动员中任取1名，有4种方法； 第二步，选定第二名比赛队员，从余下的3名运动员中任取1名，有3种方法； 第三步，选定第三名比赛队员，从余下的2名运动员中任取1名，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的排序方法. 若记这4名运动员分别为a，b，c，d，则24种不同的方法如图所示. 由此可写出所有的排序方式：abc，abd，acb，acd，adb，adc；bac，bad，bca，bcd，bda，bdc；cab，cad，cba，cbd，cda，cdb；dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 思考：问题1与问题2的共同特点是什么？能将其推广到一般情形吗？ 事实上，问题1可以归结为从5个不同的元素中任取2个不同的元素，然后按一定的顺序排成一列. 同样地，问题2可以归结为从4个不同的元素中任取3个不同的元素，然后按一定的顺序排成一列. 新知积累 1.排列 一般地，从n个不同元素中取出m个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 根据排列的定义，一个排列包含两个方面的意义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”. 因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同. 2.排列数 从n个不同元素中取出m个不同的元素，所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 一般的从n个不同元素中取出m个元素的排列数的计算： 假定有排好顺序的m个空位（如图），从n个不同元素中任意取m个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列. 因此，所有不同填法的种数就是排列数. 填空可分为m步： 第1步，填第1个位置，可以从n个元素中任取一个填上，有n种填法； 第2步，填第2个位置，可以从余下的个元素中任取一个填上，有种填法； …… 第m步，填第m个位置，可以从余下的个元素中任取一个填上，有种填法. 3.排列数公式 根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法. 得到公式，其中，并且，这个公式叫作排列数公式. 特别地，从n个不同元素中取认n个不同的元素（即全部取出）排成一列，叫作n个元素的一个全排列，此时，将右端简记为，叫作n的阶乘，表示正整数1到n的连乘积. 特別地，规定. 根据上面阶乘的定义得 . 这样，排列数公式还可以写成. 例题巩固 例1 计算：（1）； （2）. 解 （1）； （2）. 例2 春节期间，某班20名同学互发一条问候短信，那么他们发出的短信总数有多少条？ 解 发出的短信总数为：（条）. 例3 （1）有5个不同的科研小课题，从中选3个安排高二年级的3个课外兴趣小组参加，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ （2）有5个不同的科研小课题，高二年级的3个课外兴趣小组报名参加，每组限报一个，共有多少种不同的报名方法？ 解 （1）从5个不 ... ...
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