中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第三册 专题强化练4 数量积及其性质 1.若同一平面上三个单位向量a,b,c两两间的夹角都是,则a-b与a+c的夹角是( ) A. 2.(2024山东泰安一模)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,若(a+b)⊥(3a-2b),则a与b的夹角为( ) A. D.π 3.(2024北京清华大学附中期中)在△ABC中,,则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形 D.等腰(非等边)三角形 4.(2022广东广州仲元中学期中)已知向量a,b满足|a|=2,|a-b|=7,b在a上的投影的数量为-,则|b|=( ) A.6 B.9 C.3 5.(2023广东广州二中期中)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=5,点O为其外接圆的圆心,=12,则a=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.(2024天津耀华中学学情调研)已知等边三角形ABC的边长为4,D为边AB的中点,E是边AC上的动点(含端点),则的取值范围为( ) A.[-1,6] B.[-1,12] C.[0,6] D. 7.(2022山东枣庄三中期中)已知向量a与向量b不共线,b=(1,1),对任意t∈R,恒有|a-tb|≥|a-2b|,则( ) A.a⊥b B.a⊥(a-2b) C.b⊥(a-2b) D.(a+2b)⊥(a-2b) 8.(2022上海松江二中月考)如图所示,△ABC是边长为2的正三角形,以BC的中点O为圆心,BC为直径作半圆弧,点P在圆弧上运动,则的取值范围为( ) A.[2,3] C.[2,4] D.[2,5] 9.(多选题)(2024福建龙岩月考)如图,在△ABC中,BC=12,D,E是BC的三等分点,则下列正确的是( ) A. B.若AB⊥AC,则=32 C.若=9,则=40 D.若=4,则=88 10.如图,△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q,若||=5,则()·()= . 11.(2022浙江湖州中学期末)已知平面向量a,b,c满足|a|=2,|b-a|=1,c∥b,a·c=6,则|c|的最大值为 . 12.(2024山东烟台莱阳一中月考)在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC交BD于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD. (1)求的值; (2)若N为线段AC上任意一点,求的最小值. 13.(2023安徽卓越县中联盟期中)如图,在四边形OABC中,(0≤x≤1),)·. (1)证明:OA⊥OC; (2)设,求λμ的最大值,并求出λμ取得最大值时x的值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练4 数量积及其性质 1.D 由题意知,|a-b|=,|a+c|=1,(a-b)·(a+c)=a2+a·c-a·b-b·c=1+1×1×cos. 设a-b与a+c的夹角为θ,则cos θ=,又0≤θ≤π,所以a-b与a+c的夹角为.故选D. 2.C 因为(a+b)⊥(3a-2b),所以(a+b)·(3a-2b)=0,整理得a·b=2|b|2-3|a|2,又|a|=|b|,故a·b=2|b|2-3|b|2,所以cos
=,又0≤≤π,所以a与b的夹角为.故选C. 3.D 因为=0,所以=0,所以·()=0,所以()·()=0,所以,即BC=BA, 因为=1×1×(-cos B)=, 所以cos B=-,所以B=, 所以△ABC为等腰(非等边)三角形.故选D. 4.A 由|a|=2,|a-b|=7得a2-2a·b+b2=4-2a·b+b2=49,所以-2a·b+b2=45.因为b在a上的投影的数量为-,所以,所以a·b=-.所以9+b2=45,所以|b|=6.故选A. 5.C 连接OA,OC,则OA=OB=OC.取AC的中点D,连接OD,BD,则OD⊥AC. )·)·(=12,即c2=12,又c=5,所以a=7.故选C. 6.D 取线段AC的中点O,连接OB,则OB⊥AC,以点O为原点,OA,OB所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(2,0),D(1,).由题可设点E(x,0),-2≤x≤2,则),所以,因为函数f(x)=上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f,又因为f(-2)=12,f(2)=0,所以f(x)在[-2,2]上的最大值为12,因此.故选D. 7.C 设a=(x,y),则a-tb=(x-t,y-t),a-2b=(x-2,y-2). ∵对任意t∈R,恒有|a-tb|≥|a-2b|, 即(x-t)2+(y-t)2≥(x-2)2+(y-2)2, ∴ t∈R,t2-(x+y)t+2(x+y)-4≥0恒成立, ∴Δ=[-(x+y)]2-4×[2(x+y)-4]≤0,解得x+y=4. ∵向量a与向量b不共线,∴x≠2. a·b=(x, ... ... 
