6.2.3 向量的数乘运算——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 6.2.3 向量的数乘运算———高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练 一、选择题 1．在中,,,M,N为线段上（不包含端点）不同的两个动点.若,则( ) A.3 B.4 C.6 D.7 2．如图所示的中，点D是线段上靠近B的三等分点，点E是线段的中点，则( ) A. B. C. D. 3．在平行四边形中,,,则( ) A. B. C. D. 4．如图,在中,点D,E满足,.若,则( ) A. B. C. D. 5．已知O是所在平面内一点，且，若，则( ) A. B. C. D. 6．在中，若，则的形状为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7．在中，，，则( ) A. B. C. D. 8．如图,在中,,若,,则( ) A. B. C. D. 9．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，点P满足，则与的面积比为( ) A. B. C. D. 10．如图,在中,,则( ) A. B. C. D. 二、填空题 11．已知O是的外心，，，若，且，，则的值为_____. 12．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E在上，且，连接交于点G，若，则_____. 13．已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为_____. 14．已知,,若A,B,C三点共线,则_____. 三、解答题 15．欧拉是伟大的数学家,也是最多产的数学家,他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年,欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出,任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线）,此外,外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半.为证明以上结论,我们作以下探究: 如图,点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心. （1）求证:; （2）求证:; （3）求证:. 注:①重心:三边中线的交点,重心将中线长度分成2:1; ②垂心:三条高线的交点,高线与对应边垂直; ③外心:三条中垂线的交点（外接圆的圆心）,外心到三角形各顶点的距离相等. 参考答案 1．答案：C 解析：因为,,所以,, 设,, 则 , 又,且,不共线, 则, 所以. 2．答案：B 解析： . 故选：B. 3．答案：C 解析：由图可得:,又,. 则,即. 故选:C 4．答案：B 解析：因为 , 又, 所以,, 所以. 故选：B. 5．答案：C 解析：因为，所以， 即，即， 又，、不共线，所以，所以. 故选：C 6．答案：B 解析：因为，， 所以， 所以为等边三角形. 故选B. 7．答案：C 解析：. 8．答案：C 解析：因为,所以, 所以. 故选:C. 9．答案：B 解析：如图所示，是的重心，，.，，，即，点P为的中点，即点P，O为BC边中线AD的两个三等分点，，，.故选B. 10．答案：A 解析：在中,, . 故选：A. 11．答案： 解析：如图所示， 因为，，， 所以，即， 于是有， 取的中点为D，则，所以. 又点O是的外心，所以. 在中，. 所以的值为. 故答案为：. 12．答案： 解析：在平行四边形中，，， 根据初中知识知道，则，则， 又，则，则. 故答案为：. 13．答案： 解析：设，，，因为，均为单位向量， 所以四边形为菱形，且平分， 所以与的夹角为，则与的夹角为. 故答案为：. 14．答案： 解析：因为,,且A,B,C三点共线, 所以,所以,解得. 故答案为: 15．答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 解析：（1）为的重心,连接CG并延长交AB于M, 则M为AB中点,且. 在中,为AB中点,, 得证. （2）在中,.为AB中点, . 为的重心,, 则在中,有, 得证. （3）连结并延长AH和CH,取AB、BC的中点M、N, 连结OM和ON,因为点O为的外心,所以有,, 因为点H为的垂心,所以有,, 所以,, 而又,,,, 从而,, 而,, 同理,,, 因为, 所以 所以. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...