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课件网) 第4章 指数函数与对数函数 4.1 指数 人教A版2019高中数学必修第一册 什么是n次方根？ 【温故】我们知道，如果 ，那么 叫做 的平方根.例如，±2就是4的 平方根. 如果 ，那么 叫做 的立方根.如2就是8的立方根. 类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根. 一般地，如果 ， 其中， n＞1，且n∈N* 正数有两个平方根，一个算术平方根；0有一个平方根，一个算术平方根；负数没有平方根. 那么 叫做 的n次方根， n次方根的性质 【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号 表示.例如 【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方 根用 表示，负的n次方根用 表示.两者也可以合并成 . 例如 【3】 负数没有偶次方根. 【4】 0的任何次方根都是0.记作： 因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数. 什么是根式？ 【定义】式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 根指数 被开方数 根据n次方根的定义， 可得： ， 比如： 【1】 一般读作“n次根号a” 【2】 当a＜0且n为偶数时， 在实数范围 内没有意义. 【3】 当 有意义时， 是一个实数，且 它的n次方等于a. 什么是根式？ 【探究】 表示 的n次方根， 一定成立吗？ 【结论】 ①当n为奇数时， ②当n为偶数时， 和 有什么区别？ 是实数 的n次方根，恒有意义，不受 的正负限制. 但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定 等于 ，当n为奇数时， ；当n为偶数时， 是实数 的n次方，在 有意义的前提下，实 数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结 果恒等于 . (1) (2) (3) (4) 【1】求下列各式的值. 【解】(1) (2) (3) (4) 分数指数幂是什么？ 【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道 ，也就是说，当根式的被开方数(看 成幂的形式)能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式. 【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为 分数指数幂的形式呢？ 【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把 写成下列形式： , 我们希望整数指数幂的运算性质，如： ，对分数指数幂 同样适用. 分数指数幂是什么？ 【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是： 于是，在条件 下，根式都可以写成分数 指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿. 我们规定， 例如， 我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义. 不可以.显然 不是半个 相乘，它的实质是根式的另一种写法，如 .在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同 分数指数幂是什么？ 【问题1】 可以理解为 个 相乘吗？ 【问题2】分数指数能约分吗？ 不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如 约分后变成了 ，而 在实数范围内无意义. 分数指数幂的运算性质 时运算 法则不一定成立. 研究的一般性要求： ，此时法则一定成立. (1) (2) 【1】求下列各式的值. 【解】(1) (2) (1) (2) 【2】求用分数指数幂表示下列式子( ). 【解】(1) (2) 【3】计算下式的值. 【解】 什么是无理数指数幂？ 【定义】一般地，无理数指数幂 为无理数 是一个确定的实数.这样， 我们就将指数幂 中的指数 的范围从整数逐步拓展到了 实数，实数的指数幂是一个确定的实数. 【指数幂的拓展顺序】 正整数指数幂 负整数指数幂 零次幂 整数指数幂 分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂 实数指数幂 无理数指数幂的运算实质 【定义】一整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数 ， 均有下面的运算性质. 【3】计算下 ... ...
