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课件网) 第4章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 人教A版2019高中数学必修第一册 函数的零点与方程的解 【导学】如何求二次方程 的实数根？ 【答】由根的判别式 得： 对于一个一般的函数，也可以这么算吗？它们有什么异同点？ 函数的零点与方程的解 【函数零点的定义】与二次函数的零点一样，对于一般函数 ，我们把使得 的实数 叫做函数 的零点. 这样，函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函 数 的图像与 轴的交点的横坐标.所以： 方程 有实数解 函数 有零点 函数 的图像与 轴有交点 函数的零点与方程的解 【零点的定义给出了求解函数零点的基本方法】 (1)代数法： 若方程 可解，其实数根就是函数 的零点. (2)几何法： 若方程 难以直接求解，将其改为 ， 进一步改为 ，在同一坐标系中分别画出两个函数 和 的图像，两图像交点的横坐标就 是函数 的零点. . 零点存在定理 【实例分析】以二次函数 为例，我们知道求函数 的零点，其实就是求方程 的实数解. 可以发现，在零点附近，函数的图像是连续不断的， 并且穿过 轴.函数在端点 和 时的取值 异号，即 ，于是函数在区间(2,4)内有零点； 同样的， ，函数在区间(-2，0)内有零点. 一般地，如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线， 且有 ，那么函数在区间 内至少有一个零点.即存在 , 使得 ，这个t也就是方程 的解.这就是零点存在定理. 零点存在定理 若 的图像在 上是不连续的，则 在 上没有零点. 那可不一定.下面这个函数在(-1，3)上照样有零点！ 函数 的图像在区间 上是连续的，但 则 在 上没有零点. 这也不一定.下面这个函数 ，但函数在 上有零点！ 零点存在定理 【理解函数零点存在定理需要注意的问题】 【1】① 函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线. ② ，这两个条件缺一不可，否则结论未必成立. 【2】满足上述条件，则函数 的图像至少穿过 轴一次，即在区间 上函数 至少有一个零点，但是不确定到底有几个. 【3】该定理是一个充分不必要条件.反过来，若函数 在区间 上有零点，则不一定有 成立. 零点存在定理 【常见函数的零点】 一个零点 无零点 两个零点 一个零点 无零点 无零点 一个零点1 一个零点0 无零点 利用二分法求方程的近似解 【二分法的概念】 假设我们知道函数 在区间(2，3)内存在一个零点，那么我们怎么求出这个零点呢？ 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取中点的方法，逐步缩小零点的范围. 实际上大多数方程都不能像一元二次方程这样可以直接用公式求出精确解.在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解. 我们知道求解二次函数 零点的方法，当 时，利用求根公式 就可以求出方程的解，也就是函数的零点. 利用二分法求方程的近似解 【二分法的概念】 通过上述步骤，我们把零点的范围从(2,3)缩小到了(2.5, 2.75)，那么重复这个步骤，我们就可以把零点所在的范围缩小 到满足一定精确度的区间，区间的任意一点都可以作为函输零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 像这样，把在区间 上连续且 的函数 ，不断把零点区间一分为二逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法. 一般地，称 为区间 的中点. 函数 在区间(2，3)上有零点，并且 ，取(2，3)的中点2.5，利用计算器求出 .因为 ，所 以零点在区间(2.5，3)之间；再取区间(2.5，3)的中点2.75，算 出 ，则零点在区间(2.5，2.75)之间… 利用二分法求方程的近似解 【问题】二分法的理论依据是什么？ 【答】①二分法的理论依据是零点存在定理， 仅适用于函数的变号零点(函数图 像通过零点 ... ...
