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课件网) 1.4.2 充要条件 教学目标： 1、理解充要条件的意义。 2、掌握充分、必要条件的判断方法。 教学重点： 会判断命题中两条件的关系。 教学难点： 解决含参数的命题问题。 知识回顾 如果“若p，则q”为真命题，那么由p可以推出q，记作 ，此时，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 如果“若p，则q”为假命题，那么由p不能推出q，记作 ，此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 注： p是q的充分条件，也可能p是q的必要条件同时成立． 我们在判定充分或必要性的时候就可以看作对两个集合关系的判定， 设p对应集合P，q对应集合Q： 若P Q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件． 知识回顾 问题1：已知p：x=1 ，q：x2 =1 .那么p是q的什么条件？ 问题2：已知p：ac=bc ，q：a=b .那么p是q的什么条件？ P是q的充分条件，p不是q的必要条件，即p是q的充分不必要条件。 P是q的必要条件，p不是q的充分条件，即p是q的必要 不充分条件。 新课引入 下列"若p，则q"形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题 （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程ax ＋bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； （4）若AUB是空集，则A与B均是空集． 思考 命题（1）和它的逆命题都是真命题； 命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题． 命题（4）和它的逆命题都是真命题； 充要条件定义 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作： ． 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 概括地说，如果 ，那么p与q互为充要条件． 充要条件 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程ax ＋bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； （4）若AUB是空集，则A与B均是空集． 命题（1）： ， p是q的充要条件 命题（2）： ，p是q的充分不必要条件 命题（3）： ，p是q的必要不充分条件 命题（4）： ， p是q的充要条件 例题精讲 例3.判断下列各组命题中，那么p是q的什么条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0)． 解：（1）因为 ，所以p是q的充分不必要条件。 （2）因为 ，所以p是q的充要条件。 （3）因为 ，所以p是q的必要不充分条件。 （4）因为 ，所以p是q的充要条件。 探究 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 提示：充要条件是包含两个方面，即充分性和必要性。 可以发现： 1.两组对边分别平行的四边形 2.两组对角分别相等的四边形 3.两组对边分别相等的四边形 4.四边形的一组对边平行且相等 5.四边形的对角线互相平分 它们既是 “四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件。 例题精讲 例4.设a，b，c∈R.证明： 的充要条件是a=b=c. 证明：(充分性) （必要性） 课堂练习 1．“x＝9”是“x2－4x－45＝0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2．设x∈R，则“x≥-5”是“|x－1|≤1”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. ... ...
