第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质 课程标准 学习目标 ①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。 ②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。 通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题 知识点01：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线方程为， 化为标准方程为：，所以， 由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：. 故选：C. 知识点02：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【即学即练2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 【答案】 【详解】设所求双曲线方程为：， 双曲线经过点，， 所求双曲线方程为：. 故答案为：. 知识点03：直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为 ． 【答案】2 【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2． 故答案为：2 知识点04：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 【即学即练4】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ． 【答案】 【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，， 所以． 故答案为： 知识点05：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 【即学即练5】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的方程为， 因为，所以，则， 所以渐近线方程为. 故选：C. 知识点06：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【即学即练6】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 题型01由双曲线的方程求几何性质 【典例1】（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（ ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 【典例2】 ... ...
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