第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 ①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。 ②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。 ③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。 ④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。 通过本节课的学习,会判断直线与圆的位置关系,会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程,会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程,能解决与直线、圆有关的综合问题. 知识点01:直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法(优先推荐) 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ; 。 圆心到直线的距离:。 圆与直线相交。 ; 。 圆心到直线的距离:。 圆与直线相切。 ; 。 圆心到直线的距离:。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线:;圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【即学即练1】(2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末)直线与曲线的交点个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】因为曲线就是或,表示一条直线与一个圆, 联立,解得,即直线与直线有一个交点;此时,没有意义. 联立,解得或,所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选:B 知识点02:直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法(优先推荐) ①弦心距(圆心到直线的距离) ②弦长公式: 2、代数法 直线:;圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式: 【即学即练2】(2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末)已知直线:与圆交于两点,则_____. 【答案】 【详解】由圆,可得圆心坐标为,半径为, 又由圆心到直线的距离为, 根据圆的弦长公式,可得. 故答案为:. 知识点03:直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点,可以作圆的两条切线 ②过圆上一点,可以作圆的一条切线 ③过圆内一点,不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程() ①点在圆上 步骤一:求斜率:读出圆心,求斜率,记切线斜率为,则 步骤二:利用点斜式求切线(步骤一中的斜率+切点) ②点在圆外 记切线斜率为,利用点斜式写成切线方程;在利用圆心到切线的距离求出 (注意若此时求出的只有一个答案;那么需要另外同理切线为) 3、切线长公式 记圆:;过圆外一点做圆的切线,切点为,利用勾股定理求; 【即学即练3】(2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末)由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为_____. 【答案】 【详解】圆的圆心为, 在直线上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接. 在中,.要使最小,则应最小. 又当PC与直线垂直时,最小,其最小值为. 故的最小值为. 故答案为:. 知识点四:圆上点到直线的最大(小)距离 设圆心到直线的距离为,圆的半径为 ①当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为:,最小距离为:; ②当直线与圆相切时,圆上的点到直线的最大距离为:,最小距离为:; ③当直线与圆相交时,圆上的点到直线的最大距离为:,最小距离为:; 【即学即练4】(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知直线上的两点,且,点为圆上任一点,则的面积的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】把圆变形为, 则圆心,半径, 圆心到直线的距离, 则圆上的点到直线的距离的最大值为,又, ∴的面积的最大值为. 故选:A. 题型01判断直线与圆的位置关系 【典例1】(2023春·甘肃白银·高二校考期末)坐标轴与圆的交点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【典例2】(2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期 ... ...
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