1.1.2 空间向量的数量积运算 A组 1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角
的余弦值为( ) A. B. C. D. 3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为( ) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 4.设A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则△BCD是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 5.(多选题)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( ) A. B. C. D. 6.已知空间向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,=135°,若m⊥n,则λ的值为 . 7.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,则cos<>= . 8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则体对角线AC1的长度等于 . 9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,侧棱PA⊥底面ABCD,证明:PC⊥BD. 10.如图,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α于点A,线段BD⊥AB于点B,线段DD'⊥α于点D',如果∠DBD'=30°,AB=a,AC=BD=b,求点C,D间的距离. B组 1.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.如图,在正四面体ABCD中,E是BC的中点,那么( ) A. B. C. D.不能比较大小 3.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列四个结论中,正确的是( ) A.()2=3||2 B.·()=0 C.的夹角为60° D.正方体的体积为|| 4.已知|a|=2,|b|=1,=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 . 5.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·()= . 6.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若CF上有一点N,使MN⊥AE,则= . 7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,求的夹角的余弦值. 8.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为. (1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱长. 参考答案 A组 1.A 解析:a·b=|a||b| cos=1 =0°,即a与b共线.反之不成立,因为当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|. 2.D 解析:∵a+b+c=0,∴a+b=-c. ∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=|c|2. ∴a·b=.∴cos=. 3.C 解析:)·)=a2. 4.B 解析:=()·()=+||2=||2>0, 同理可证>0,>0. 所以△BCD的每个内角均为锐角.故△BCD是锐角三角形. 5.BCD 解析:因为PA⊥平面ABCD,且CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.故=0.因为AD⊥AB,PA⊥AD,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.因为PB 平面PAB,所以AD⊥PB.故=0.同理,=0,=0.因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD.所以=()·.因为四边形ABCD为矩形,所以BD不一定与AC垂直.所以的数量积不一定为0.故选BCD,排除A. 6.- 解析:∵m⊥n,∴(a+b)·(a+λb)=0. ∴m·n=0,即a2+λb2+(1+λ)a·b=0, 即18+25λ+(1+λ)×3×5×cos 135°=0, 解得λ=-. 7. 解析:=()·()=, ∵BB1⊥BA1,BB1⊥BC,∴=0,=0, 又=||||·cos(180°-∠ABC)=×1×cos 135°=-1,=4, ∴=-1+0+0+4=3,又||·||=, ∴cos<>=. 8. 解析:||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=16+9+25+2×4×3×cos 90°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=50+20+15=85,则||=. 9.证明:∵, ∴=()·()=()·()-·() =. ∵底面ABCD为菱形, ∴AD=AB,∴=0. ∵侧棱PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥AB,PA⊥AD, ∴=0, ∴=0,∴PC⊥BD. 10.解:||2=()2=||2+||2+||2+2(). ∵AC⊥α,且AB α,∴AC⊥AB. ∴=0. 又∠DBD'=30°,AC⊥α,DD'⊥α, ∴<>=60°. 又BD⊥AB,∴=0. ∴||2=b2+a2+b2+2(0+b2cos 6 ... ... 
