中小学教育资源及组卷应用平台 1.7 平面向量的应用举例（同步测试）-2024-2025学年高一数学湘教版（2019）必修第二册 一、选择题 1．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间t（单位：）为( ) A.7.2 B.7.8 C.120 D.130 2．一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在水平地面上的影子的速度是，则鹰的飞行速率为( ) A. B. C. D. 3．已知满足（其中k是非零常数），则的形状一定是( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 4．设点O在内部，且有，则的面积与的面积的比值为( ) A.2 B. C. D.3 5．已知点A,B,C在圆上运动,且,若点P的坐标为,则的最大值为( ) A.3 B.5 C.7 D.9 6．如图,在中,,,P为CD上一点,且满足,若,则的最小值是( ) A.2 B.4 C. D. 7．课本第46页上在用向量方法推导正弦定理时采取如下操作：如图1所示，在锐角中，过点A作与垂直的单位向量，因为，所以.由分配律，即得，也即. 请用上述向量方法探究：如图2所示直线l与的边AB，AC分别相交于点D，E.设，，，，则与的边和角之间的等量关系为( ) A. B. C. D. 8．如图，在等腰直角三角形中，斜边，M为线段上的动点（包含端点），D为的中点.将线段绕着点D旋转得到线段，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．下列命题为真命题的是( ) A.是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为 B.已知的三个内角分别为A，B，C，动点P满足，，则动点P的轨迹一定经过的重心 C.在中，若，则为锐角三角形 D.O为内部一点，，则，，的面积比为 10．有下列说法其中正确的说法为（ ） A．若，则 B．若，分别表示的面积，则 C．两个非零向量，若，则a与b共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 三、填空题 11．已知等边的外接圆O的面积为,动点M在圆O上,若,则实数的取值范围为_____. 12．如图,在平面四边形中,,,,,,,若点F为边上的动点,则的最小值为_____ 13．一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为_____牛顿. 14．如图，某体重为的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊之间的夹角为，拉力大小均为.若要使该体育老师的身体能向上移动，则的最小整数值为_____N.（取重力加速度，） 四、解答题 15．在边长为2的等边中，D为BC边上一点，且． （1）若P为内一点（不包含边界），且，求的取值范围； （2）若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 16．质量的木块在平行于斜面向上，大小为的拉力F的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行了的距离. （1）分别求木块所受各力对木块所做的功； （2）在这个过程中，木块所受各力对木块做功的代数和是多少？ 参考答案 1．答案：B 解析：若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示. 由题意可知，，，且，，由勾股定理可得.因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为，则.故选B. 2．答案：C 解析：设鹰的飞行速度为，鹰在地面上的影子的速度为，则.因为鹰的运动方向与水平方向成角向下，所以.故选C. 3．答案：C 解析：因为在中，（其中k是非零常数）， 所以，即，所以.又，不共线，所以，所以，即一定是等腰三角形.故选C. 4．答案：A 解析：设，，，如图所示. 根据题意得，即点O是的重心，取的中点E，连接OE，则，O，E三点共线，且，所以边上的高是边上的高的3倍， 所以，即， 同理可得，， 所以.又因为，， 所以，，故的面积与的面积的比值为. ... ...
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