人教A版数学(选择性必修一讲义)第08讲拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(学生版+解析)

第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法 (含探索性问题） 一、知识点归纳 知识点一：直线与平面所成角 1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影. 2、直线和平面所成角：（有三种情况） （1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为； （2）直线与平面垂直时，它们的所成角为； （3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0. 结论：直线与平面所成角的范围为. 3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 5、利用向量法求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 二、题型精讲 题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法） 【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）在长方体中，，则与平面所成的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2022秋·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为_____. 【典例3】（2022春·广东江门·高一江门市第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形的中心，平面，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求点到平面的距离； (3)若，求直线与平面所成角的余弦值． 【典例4】（2022春·安徽滁州·高一统考期末）如图，平行六面体的棱长均相等，，点分别是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正弦值． 【变式1】（2022春·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）如图，在三棱锥中，底面，，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值是_____． 【变式2】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥中，为线段的中点，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法） 【典例1】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正方体中，点，分别是，上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·山东德州·高二统考期末）如图，已知直角梯形，，，，，四边形为正方形，且平面⊥平面． (1)求证：⊥平面； (2)点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【典例3】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是棱上靠近点的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为棱上一点. (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）在正四棱柱中，，，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型03易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值 （忽视最后正弦转余弦） 【典例1】（2023·高二单元测试）已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与 ... ...