人教A版数学(选择性必修一讲义)第33讲拓展二：圆锥曲线的方程(轨迹方程问题)(学生版+解析)

第08讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题） 一、知识点归纳 知识点一：曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 知识点二：求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 知识点三：求轨迹方程的方法： 1、定义法： 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2、直译法： 如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3、参数法： 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系， ，进而通过消参化为轨迹的普通方程. 4、代入法（相关点法）： 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 5、点差法： 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标 【典例3】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知的斜边为，且.求： (1)直角顶点的轨迹方程； (2)直角边的中点的轨迹方程. 【变式1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为 ． 【变式3】（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知椭圆的上 下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足. (1)证明：是定值，并求出该定值； (2)求动点的轨迹方程. 方法03定义法 【典例1】（2023秋·全国·高二期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 . 【变式1】（2023·上海·高二专题练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 【变式2】（2023·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是 ． 方法04参数法 【典例1】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点，若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. 【变式1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 . 【变式2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆，，为C的左右焦点.点为椭圆上一点，且.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交. (1)求 ... ...