人教A版数学(选择性必修一讲义)第06讲1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(学生版+解析)

第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 课程标准 学习目标 ①会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值 ②会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 1、能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解. 2、通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 知识点01：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，为的中点，则， 由圆锥的几何性质可知平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以，点到平面的距离为. 故选：B. 知识点02：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 【即学即练2】（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则、、、、， ， ，所以，， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：A. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【即学即练3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为_____． 【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设与平面所成角的大小为， 则， 与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练4】（2023·高一课时练习）正方体中，二面角的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，， 则，设为平面的法向量， 则，即，令，则，所以， 又因为平面，则为平面的一个法向量， 则，所以二面角的大小为， 故答案为：. 题型01利用空间向量求点线距 【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知空间三点，则点到直线的距离为_____． 【典例3】（多选）（2023春·江西宜春·高二江西省丰城中学校考开学考试）点在轴上，它与经过坐标原点且方向向量为的直线的距离为，则点的坐标是（　　） A． B． C． D ... ...