第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算 课程标准 学习目标 ①会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知，则_____． 【答案】 【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故 故答案为： 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知在标准正交基下，向量，，，则向量在上的投影为_____. 【答案】 【详解】因为向量，，， 因此， ， 所以向量在上的投影为. 故答案为： 知识点03：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州铜盘中学校考期末）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ） A． B．1 C． D． 【典例2】（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则_____． 【变式1】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·高二课时练习）已知空间向量满足，且与的夹角为，则_____． 题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 【典例1】（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为_____． 【典例2】（2023·全国·高 ... ...
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