3.1.3 函数的奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用 一、选择题 1.[2023·辽宁六校协作体高一期中] 下列函数既是偶函数,又在(-∞,0)上单调递减的是 ( ) A.y=2|x|+3 B.y= C.y=-2x2+1 D.y=7x ★2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)0的解集为 ( ) A.(-∞,-3)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(0,3) D.(-3,0)∪(3,+∞) 5.已知f(x)是奇函数,且在定义域[-2,2]上单调递减,若f(2a+1)+f(4a-3)>0,则实数a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 6.设f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)满足>0且f(1)=2,则不等式f(x)>2x的解集为 ( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 7.若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则不等式<0的解集为 ( ) A.(-2,2) B.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 8.(多选题)[2023·湖北荆州高一期中] 已知函数y=f(x-1)为奇函数,则下列说法正确的为( ) A.y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称 B.f(-x-1)+f(x-1)=0恒成立 C.f(-x+1)=-f(x-1)恒成立 D.y=f(x-1)的图象关于原点对称 9.(多选题)[2023·江苏泰州海陵区高一期中] 已知定义域为R的函数f(x),下列说法正确的有 ( ) A.若f(2)>f(1),则f(x)在R上不是减函数 B.若f(x+1)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若f(-1)=f(1),则f(x)是偶函数 D.若f(x)满足对任意x1≠x2,都有>0,则f(x)在R上是增函数 二、填空题 10.已知函数f(x)=+4在区间[-2023,2023]上的最大值为M,最小值为m,则M+m= . 11.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是 . 12.已知奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=0,则不等式(x-2)f(x)<0的解集是 . 三、解答题 13.已知函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)= (1)求f(-2); (2)当x<-3时,求f(x)的解析式; (3)若a≤3,求函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值. 14.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-2(x,y∈R),且f(2)=6. (1)求f(0),并判断函数g(x)=f(x)-2的奇偶性; (2)若对任意x≠y,都有[f(x)-f(y)](x-y)>0恒成立,且当x∈(0,4]时,不等式f(x)+f≥8恒成立,求实数m的取值范围. 15.[2023·黑龙江哈尔滨三中高一月考] 已知函数f(x)=(pq≠0),若存在正实数a,使得函数f(x)在区间[-a,a]上有最大值M及最小值m,则M+m= . 16.我们知道,“函数y=f(x)的图象关于原点对称”的充要条件是“函数y=f(x)为奇函数”,有同学发现可以将其推广为:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称”的充要条件是“函数y=f(x+a)-b为奇函数”. (1)求证:点(-1,2)是函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心; (2)已知函数f(x)=x3+3x2,求f(2022)+f(2023)+f(-2024)+f(-2025)的值. 第2课时 函数奇偶性的应用 1.A [解析] 令f(x)=2|x|+3,其定义域关于原点对称,f(-x)=2|-x|+3=f(x),所以y=2|x|+3为偶函数,当x<0时,y=-2x+3,y=-2x+3在(-∞,0)上单调递减,故A正确;令f(x)=,其定义域关于原点对称,f(-x)=-=-f(x),所以y=为奇函数,故B错误;y=-2x2+1的图象的对称轴为x=0,开口向下,即y=-2x2+1的图象关于y轴对称,所以y=-2x2+1是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,故C错误;y=7x在(-∞,0)上单调递增,故D错误.故选A. 2.A [解析] 因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单 ... ...
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