7.3 复数的三角表示——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 7.3 复数的三角表示———高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练 一、选择题 1．复数的辐角主值是( ) A. B. C. D. 2．已知：棣莫弗公式（i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知，，则( ) A. B. C. D. 4．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的( ) A.辐角唯一 B.辐角主值唯一 C.辐角主值为 D.辐角主值为 5．已知，则( ) A. B. C. D. 6．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，( ) A.1 B.0 C.-1 D. 7．复数的三角形式为( ) A. B. C. D. 8．任意复数（、，i为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度r叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是( ) A.若，则有 B.若，，则 C.若，则 D.设，则在复平面上对应的点在第一象限 10．已知i是虚数单位，下列说法正确的是( ) A.已知，若，，则 B.复数，满足，则 C.复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线 D.复数z满足，则 三、填空题 11．已知为实数，若复数是纯虚数，则z的虚部为_____. 12．已知复数，则_____. 13．复数的辐角主值为_____. 14．欧拉公式（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.试用欧拉公式计算_____. 四、解答题 15．设. (1)求证： (2)求证： (3)在复数范围内，解方程 16．已知复数,的实部分别为，,虚部分别为，,其中. （1）求的取值范围； （2）能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由. 参考答案 1．答案：D 解析：， ，， 辐角主值， 故选：D. 2．答案：B 解析：由， 所以， 复数在复平面内所对应的点的坐标为，， ， 所以，， 复数在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B. 3．答案：D 解析： . 故选：D. 4．答案：B 解析：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值， 非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值. 故选：B. 5．答案：B 解析： 所以， 故选：B 6．答案：C 解析：因为， 所以. 故选：C. 7．答案：C 解析：因为，所以，辐角为，所以复数的三角形式为， 故选：C. 8．答案：A 解析：复数，因此，复数的辐角主值为. 故选：A. 9．答案：AC 解析：对于A，，故A正确； 对于， 由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积， 所以的辐角是复数z的辐角的n倍，模是，故C正确； 对于， ，所以，故B错误； 对于， 设，故， 故复数在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误. 故选：AC. 10．答案：BCD 解析：对A，虚数不能比较大小，可知A错误； 对B，根据共轭复数的定义知，当时，， 则，故B正确； 对C，因为复数z满足， 则复数在复平面上对应的点到，两点间的距离相等， 则复数z在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线， 即z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确； 因为， 则， 又， 故D正确， 故选：BCD. 11．答案： 解析：因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以，即z的虚部为， 故答案为：. 12．答案： 解析： 所以， 所以. 故答案为： 13．答案： 解析： 所以复数的辐角主值为. 故 ... ...