3.1.2 函数的单调性 教学设计

《函数的单调性》教学设计 学习目标 1．通过从形与数两方面理解函数单调性的概念的学习，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究学习，培养学生观察能力和分析能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 教学重点：函数单调性的概念、判断及证明． 教学难点：根据定义证明函数的单调性． 【教学过程】 一、归纳探索，形成概念 1．观察图象，直观感知 问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？ 引导学生作答：(1)函数，在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数，在整个定义域内 y随x的增大而减小． (2)函数，在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． (3)函数，在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小． 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们就建立了函数单调性的定义. 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗 引导学生：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数． 教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识． 设计意图：从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的初步认识． 2．思维提升，形成概念 问题1：如图是函数y=f(x)的图像，你能说出这个函数分别在哪些区间为增函数，哪些区间上为减函数？（图略见课本29页，多媒体展示） 学生能很快作答，但困难是有时难以确定分界点的确切位置． 通过讨论展示，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进一步进行研究． 设计意图：使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明在上为增函数？ (1) 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以在上为增函数． (2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增函数． (3) 任取,因为,即，所以在上为增函数． 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能无限列举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量． 设计意图：把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为下阶段的学习做好铺垫. 二、掌握证法，适当延展 例1 证明函数在上是增函数． 1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流． 证明：任取, 　　　　　设元 　　　　 求差 　　　变形　　 , 　　　　　　　　　　　　　　 ∴ ∴即 ∴函数在上是增函数．　　　 2．归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 练习：证明函数在上是增函数． 问题：除了用定义外，如果证得对任意的，且有，能断定函数在区间上是增函数吗 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数． 设计意图：初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔． 三、归纳小结，巩固提高 学生分组交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，完成小结． 1. 直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． 2.方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 3.数形结合的思想方法． ... ...