《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》（2课时）教案

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式(一) 1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法; 2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法; 3. 培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想. 重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型; 体会数学建模的过程与数形结合的思想. 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. (一) 创设情境 情境导入: 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 设矩形的一边长为x m，则另一边长为(12－x) m，由题意，得 (12－x)x>20, 020，即 x2－12x+20<0, 与一元一次不等式相比，有什么相同点和不同点？你能再举出一些类似的不等式吗？ 师生活动：小组内交流，并汇报展示. 答：① 相同点：都只含有一个未知数；② 不同点：一元一次不等式中未知数的最高次数是1，而不等式x2－12x+20<0中未知数的最高次数是2． 探究: 类比一元一次不等式的定义，你能给这类不等式起个名字吗？并给出它的定义及其一般形式． 师生活动：小组内交流，并汇报展示. 答: ① 一元二次不等式的定义：不等式含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，所以称其为一元二次不等式．② 一元二次不等式的一般形式： ax2+bx+c>0或者ax2+bx+c<0，其中a，b，c为常数，且 a≠0. 设计意图：通过具体的生活情境，导入本节课题，让学生了解学习的必要性，建立一元二次不等式的概念，培养学生数学抽象和数建模的核心素养. 思考: 在初中, 我们学习了从一次函数的观点看一元二次方程, 一元一次不等式的思想方法, 类似地, 能否从二次函数的观点看一元二次不等式, 进而得到一元二次不等式的求解方法呢 答: 可以尝试先从一个具体的,特定的, 简单的一元二次不等式求解问题出发. 如一元二次不等式x2－5x>0 和x2－5x<0的求解. 任务 2: 简单具体的一元二次不等式解法 探究: 二次函数y=x2－5x的函数图象如右 当x为何值时，y=0，函数图象与x轴相对位置关系怎样？ 当x为何值时，y＜0，函数图象与x轴相对位置关系怎样？ 当x为何值时，y＞0，函数图象与x轴相对位置关系怎样？ 师生活动：小组内交流，并汇报展示. 答: 当x=0 或 x=5时，y=0，恰为函数图象与 x 轴的交点; 当05时，y＞0，函数图象在 x 轴上方. 思考1:结合y=x2－5x的图象, 方程x2－5x=0 的解是什么 与二次函数 y=x2－5x 有什么关联 答: 方程x2－5x=0 的解是x=0,5, 恰为二次函数 y=x2－5x图象与 x 轴的两个交点的横坐标. 思考2: 能否将该结论推广到一般情形下的二次函数 答: 一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0)的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c( a≠0)图象与x轴交点的横坐标. 教师总结: 对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 设计意图: 从具体的情形出发, 引出一元二次方程的根与二次函数零点的关系. 让学生体会数形结合, 从特殊到一般的思想方法. 思考 3: 结合y=x2－5x的图象, 不等式x2－5x>0 和x2－5x<0的解集是什么 答: 根据二次函数y=x2－5x的图象可得： 不等式x2－5x>0的解集是{x|x<0或x>5}， 不等式x2－5x<0的解集是{x|00 和x2－5x<0的方法，可以推广到求一般的一元二次不 ... ...