《3.3幂函数》教案

函数的概念与性质 3.3幂函数 1.理解并掌握幂函数的概念，即形如，(其中是自变量，是常数)的函数称为幂函数. 2.能够绘制并理解常见幂函数（如等）的图象，以及它们的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性等 3.利用幂函数的性质解决相关的数学问题 重点：幂函数的概念、图象及其性质． 难点：利用幂函数的概念、图象与性质来解决简单问题． （一）创设情境 （1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜kg，那么她需要支付的费用与之间的函数关系式为； （2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积与边长的函数关系式为； （3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积与棱长之间的函数关系式为; （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长与面积之间的函数关系式为； （5）如果某人s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度(单位：km/h)与时间的函数关系式为. 上述5个函数形式都是怎样的？如果将上述解析式左边的因变量改成，右边的自变量改成，将得到怎样的函数解析式？ 答：(1); (2); (3); (4); (5) . 师生活动：小组内交流，并汇报展示. 设计意图：通过情境问题的创设，让学生列出函数关系，从中归纳出幂函数的概念. （二）探究新知 任务1：幂函数的定义 观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 要求：1.先独立思考2分钟； 2.小组内交流讨论； 3.以小组为单位进行展示汇报. 师生活动：小组内交流，并汇报展示. 设计意图：通过情境问题的创设，让学生通过自主探究、小组讨论的形式得出幂函数的具体数学模型，充分体现学生的学习主体性，同时也为幂函数的概念引入提供理论依据. 幂函数的定义 一般地，形如的函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. 幂函数满足 ① 的系数为1； ②幂函数的底数为自变量; ③幂函数的指数为常数； ④形如“”的形式； 设计意图：以填空题的形式呈现幂函数的概念，同时归纳总结幂函数的特征，可让学生深刻掌握幂函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养. 任务2：幂函数的图象 对于幂函数，我们只研究时的图象与性质. 请各位同学在同一平面分别用描点法画出下列幂函数的图象 ；（2）；（3）；（4）；（5）； 自变量 幂函数 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 9 4 1 0 1 4 9 16 25 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 125 0 1 2 -1 1 要求： 1.先独立思考2分钟； 2.小组内交流讨论； 3.以小组为单位进行展示汇报. 师生活动：小组内交流，并汇报展示. ①列表②描点；③连线，于是可得幂函数的图象如下图所示： 任务3：幂函数的性质 由上图可得幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与公共点如下表所列： 要求：先独立思考3钟；2.学生代表进行展示汇报. 幂函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增. 在R上单调递增 在上单调递增 在和上都单调递减 公共点 都经过点 设计意图：带领学生通过观察图象总结得出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、公共点等性质，让学生体会数形结合思想在数学学习中的作用. 思考1：通过对上述5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象 哪个象限一定没有幂函数的图象 答：第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象. 思考2：设函数,若的大小关系是怎样的 体现在函数图象上具有怎样的特征 答：当时,0,即,体现在图象上,即在区间上的图象在图象的上方. （三）应用举例 例1 现有下列函数:, 其中幂函数的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解：由于幂函数的一般表达式为. 逐一对比可知幂函数有共两个. 例2 函数是幂函数,且在区间上单调递增,试确定的值. 解：根据幂函数的定义,得, 解得或. 当时,在区间上单调递增; 当时,在区间上单调递减,不符合要求. 故. 总 ... ...