《4.3.2 对数的运算》教案

第四章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算 理解对数的运算性质，并能运用这些性质进行一些简单的化简和证明. 能熟练应用换底公式进行化简和计算. 能理解、应用对数的运算性质，对实际问题进行分析，提升数学逻辑推理素养. 重点：准确运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值. 难点：能根据指对数的互化推导对数运算性质及换底公式. （一）创设情境 回顾：前面的学习，我们知道了指对数互化，你们来说一说？（学生讨论）接着我们研究了指数幂的运算性质. 答：指数式与对数式的互化： (，且) 指数幂的运算性质： （1） （2） （3） 想一想：引入对数之后，自然应研究对数的运算性质. 师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题. 设计意图：教师以回顾引发学生思考，从指数与对数之间的关系、指数的运算性质中，激发学生主动学习、沿着同样的学习路径研究对数的运算性质，以此顺利揭示本节课题. （二）探究新知 任务1：探究对数的运算性质. 思考：计算下面两组式子，判断他们有什么关系？ （1）（2） 师生活动：1.先独立计算；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报. 提示：尝试从计算结果出发，能否发现他们之间的关系呢？ 总结：当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数. 各抒已见：我们能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 提示：从指数幂运算的角度进行推导. 答：设，，因为，所以. 根据对数与指数间的关系可得，， 故. 思考：此推导方法是从指数幂运算的角度出发，还有其他推导方法吗？ 提示：从对数运算的角度进行推导. 答：设，，即，，所以， 所以，故. 思考：仿照上述过程，根据指数的性质 ，尝试推导出对数的其它运算性质吗？ 师生活动:1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结. 答：1.已知，设，， 因为，所以根据对数与指数间的关系可得 ， ，故. 2.已知，设， 因为，所以，所以. 因为故. 总结：对数的运算性质：如果，且，，那么（1）；（2）；（3）. 任务2：探究对数的换底公式. 思考：解决下列问题，尝试理解对数的换底公式. (1)利用计算工具求的近似值； (2)根据对数的定义，你能利用的值求的值吗？ (3)根据对数的定义，你能用表示(，且； ; ，且) 吗？ 师生活动：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.答：（1），. （2）设 ，则 ，.所以，所以，即. （3）设 ，则 ，于是，根据性质（3）得 ，，即. 总结：对数换底公式: ， 自然语言描述：一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数. 公式意义：在于改变对数式的底数，把不同的底数问题转化为同底数问题后求解. 任务3：探究对数在实际问题中的应用. 思考：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍. 师生活动:1.先独立思考; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结. 答：因为 ，即 所以 利用计算工具，可得 由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍. 设计意图：通过三个任务，加深对对数的运算性质的理解与应用，探究任务设计层层递进，由浅入深.在思考和启发中渗透知识的学习，在合作与讨论中加深进行思维的深加工.以此突破本节课的重难点. （三）应用举例 例1 利用对数的运算性质，解决下列问题. （1）求值：、 （2）用、表示 解：（1） （2） 例2 利用换底公式化简下列各式. （ （ 解：（1）原式 （2）原式 总结：一般思路：1.先用对数的运算法则、性质进行部分运算，再化成同底对数运算化简.2.一次性统一换成常用对数（或自然对数），再化简、计算. 例3 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震 ... ...