《4.4.3不同函数增长的差异》教案

第四章 指数函数与对数函数 4.4.3不同函数增长的差异 1.能够利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长方式进行比较，体会它们的增长差异； 2.理解“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”的含义； 3.体会函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识基本初等函数与现实世界的密切联系，及其在刻画现实问题中的作用. 重点：一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 难点：函数增长快慢的因素. （一）导入新课 师生活动：教师提出问题，引导学生结合初中学习的函数知识进行回顾与思考. 思考：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一:每天回报元； 方案二:第一天回报元,以后每天比前一天多回报元； 方案三:第一天回报元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 教师说明：这个问题涉及了不同函数增长的比较，我们今天就来研究三种不同函数--一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 设计意图：通过实际问题引入课题，激发学生的学习兴趣. （二）探究新知 任务1：探究指数函数与一次函数增长方式的差异. 探究1：画出函数与在区间上的图象，说明在不同区间内，这两个函数的增长差异. 师生活动：教师提出问题，学生自主探究.作出图象后，师生合作观察、研究函数与在区间，和上的增长差异. 答：列表，画图如下： 通过图象可以看到，函数与有两个交点，.在区间上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函数的图象位于的图象之上，.这表明，虽然这两个函数在上都是增函数，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化. 探究2：为了突出增长的差异，在更大的范围内观察这两个函数的增长情况. 师生活动：教师指导学生列表，画图，师生再次合作观察、研究函数与的增长情况. 答：列表，画图如下： 通过图象可以看到，虽然函数与在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有. 设计意图：通过数形结合，让学生直观感受一次函数和指数函数的增长差异. 总结：一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似，即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度. 注意：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长. 师生活动：教师再出示几个函数实例来说明. 设计意图：通过实例，推导出结论，培养学生分析、推理的能力. 任务2：探究对数函数与一次函数增长方式的差异. 探究：画出函数，在区间上的图象，说明在不同区间内，这两个函数的增长差异. 师生活动：教师提出问题，学生自主探究，教师引导学生进行分析.师生合作观察、研究函数，的增长差异. 答：列表，画图如下： 观察图象可知，虽然函数，在区间上都单调递增，但增长速度存在明显的差异：函数的增长速度保持不变，而的增长速度在变化.随着的增大，函数的图象离轴越来越远，函数 的图象越来越平缓，趋向于与轴平行. 思考：如果将放大1 000倍，再对函数和的增长情况进行比较，仍有上述规律吗？ 答：仍保持上述规律，如下图所示： 设计意图：类比前面的探究过程继续学习，学生易于接受，并能够较快得出正确的结论，提高学生类比学习的能力. 师生活动：师生共同总结一次函数和对数函数增长方式的差异. 总结：一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.即使的值很小，在一 ... ...