《4.5.2用二分法求方程的近似解》教案

第四章 指数函数与对数函数 4.5.2用二分法求方程的近似解 1.了解利用二分法求函数零点近似解的原理，能借助计算工具用二分法求函数零点的近似值； 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解； 3.了解数学在人类文明发展过程中的作用，形成正确的数学观，激发学习兴趣. 重点：二分法的原理，用二分法求方程的近似解的一般步骤. 难点：对利用二分法求函数零点近似值的原理及精确度的理解. （一）创设情境 情境一：复习回顾 师生活动：教师引导学生复习上节课学习内容，并引出本节课要学习的内容，学生在教师的引导下回顾旧知. 思考1：函数零点的概念是什么？函数零点是不是一个点？ 答：把使函数的实数叫做函数的零点.函数的零点不是一个点，而是实数的值. 思考2：函数的零点与方程的解的关系是什么？怎样求函数的零点？ 答：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点. 函数的零点即函数图象与轴交点的横坐标，求函数的零点即求函数值为时对应的自变量的值，也就是说，求函数的零点可转化为求对应方程的解. 思考3：函数零点存在定理的内容是什么？ 答：函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在,使得，这个也就是方程的解. 思考4：求函数零点的常用数学思想方法有哪些？ 答：转化思想、数形结合思想等. 情境二：问题引入 问题1：函数的零点是否存在？如何判断？ 答：利用函数零点存在定理进行判断.由定理可知，，，且函数在上连续，所以函数在区间内存在一个零点. 问题2：你能求方程的精确解吗？为什么？ 师生活动：学生经过简单判断，思考，教师补充. 答：不能.因为大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解即可.比如当精确度为时，只需近似值与精确值差的绝对值小于即可. 联系函数的零点与方程的解的关系，能否利用函数的有关知识来求它的近似解？ 设计意图：通过从学生熟悉的求方程的解入手，复习巩固旧知，并引出如何求不易求解的方程的近似解的话题，激发学生进一步探究的欲望. （二）探究新知 任务1：探究二分法求方程近似解的原理. 根据函数的零点与方程的解的关系，方程有实数解函数的图象与轴有公共点函数有零点.从而，求方程的解求函数的零点. 探究：根据已知精确度求方程的近似解. 思考1：误差与精确度的含义是什么？ 答：一般地，误差是指近似值（或测量值）与准确值之间的差异.近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设为准确值，为的一个近似值，若，则是精确度为的的一个近似值. 思考2：当精确度为时，你能得到函数的一个符合要求的零点的近似值吗？ 师生活动：学生自主探究，教师评价. 答：零点在区间内，数轴上和之间的距离为，它们的中点与零点的距离一定小于，因此精确度为时，可以取作为一个零点的近似值. 教师给出区间的中点的定义：一般地，称为区间的中点. 思考3：当精确度为时，可以看做零点的一个近似值吗？为什么？ 答：零点是在内，还是在内？这时要考虑，的符号.由计算工具得，由可知，零点在区间内，由数轴上和之间的距离为可知，零点和之间的距离小于，因此，可以看做零点的一个近似值. 思考4：当精确度缩小到时，为了得到函数零点的近似解，至少需要将零点所在的区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法逐步缩小零点所在的区间？ 师生活动：学生思考，教师点评. 答：当精确度缩小到时，长度小于的零点在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于.与上述问题类似的方法，通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的. ... ...