《5.2.1三角函数的概念》教案

第五章 三角函数 5.2.1三角函数的概念 第1课时 1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能准确表述定义内容； 2．会根据角终边上点的坐标，求该角的三角函数值，反之，能根据已知的三角函数值，确定角的终边上的点的坐标的可能情况； 3．掌握特殊角（30°、45°、60°、90°等）的三角函数值； 4．经历从锐角三角函数到任意角三角函数定义的推广过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想； 5．通过在单位圆中分析角的终边与点的坐标关系，来构建三角函数的定义，培养学生观察、分析和归纳能力，提高学生的数学运算和逻辑推理能力． 重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义． 难点：任意角的三角函数概念的建构过程． （一）创设情境 回顾： 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数，如图所示，在直角三角形中，如何定义锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数？ 答： 思考：该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变，其三角函数值是否也改变呢 答：不变． 设计意图：通过复习初中所学锐角的三角函数的定义，用类比的方法、联系的观点引入本节新课．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力． 情境： 在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题：圆周运动是一种常见的周期性变化现象，如图所示：⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，如何刻画点P的位置变化呢？ 不失一般性，先研究单位圆上点的运动.现在的任务是：建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况． （二）探究新知 任务1：探究三角函数的定义 根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题． 如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 探究1：当时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.利用勾股定理可以发现，当=时，点P的坐标是；当或时，点P的坐标分别是(0，1)和．它们都是唯一确定的． 设计意图：先研究特殊角下点P坐标，再研究任意角下点P坐标.体现由特殊到一般的思想. 探究2：一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角的大小有关，当角确定时，点P的坐标是也唯一确定. 思考：观察角的终边与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？能运用函数的语言刻画这种对应关系吗？ 师生活动：对任意一个实数，它的终边OP与单位圆的交点P的横、纵坐标都是唯一确定的.　 一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数. 设计意图:以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角(弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫. 下面给出三角函数的定义： 师生活动：教师给出图示，学生结合图中信息给出三个定义，设是一个任意角，它的终边OP与单位圆相交于点，那么把点的纵坐标y叫做的正弦函数，记做，即； 把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记做，即； 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即. 可以看出，当=（）时，的终边在y轴上，这时点P 的横坐标 x 等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的 ... ...