《专题：函数的对称性与周期性》（教案+课件）

专题：函数的对称性与周期性 教学设计 课例名称 函数的对称性与周期性 教师姓名 学段学科 高中数学 教材版本 人教A版 章节 复习课 年级 教学目标 了解函数周期性、对称性与几何意义； 完善函数性质的知识体系，充分体验运用所学知识解决实际问题的过程； 学会运用转化与化归，从特殊到一般以及数形结合的数学思想方法。 4.进一步提升直观想象、逻辑推理、数学表达与数学运算等数学核心素养。 教学重难点 重点：函数的周期性与对称性的相关结论。 难点：1.运用所学知识解决实际问题的过程； 2.导数与导函数的对称性与周期性。 学情分析 1. 知识结构：作为高三的一轮复习课，学生现有知识体系和能力水平是已经掌握函数的概念及部分性质———单调性、奇偶性与最值； 2.认知结构：适当综合函数的周期性、奇偶性和对称性，能让学生更好的把握数学思想的灵活运用，从而有效提升直观想象、逻辑推理、数学表达与数学运算能力，即有效提高学生的数学核心素养。 教学方法 复习了函数的单调性、奇偶性的基础上，再进行本节课的学习，符合学生的认知规律，有利于知识体系的自然形成。这也是达成本节课学习目标最有利的条件； 2.如何让学生发现并掌握变化中的规律，即变化过程中的不变因素，是学生真正学会此类问题解决办法的关键； 3.高考真题中导数与导函数的对称性与周期性规律总结。 教学过程 一、知识梳理 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、周期性的定义 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 常用结论 1．函数对称性常用结论（自变量x的系数相反） (1)轴对称：f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称．f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)中心对称：f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点对称． (3)对称性是奇偶性的推广： ，时，为偶函数； ，时，为奇函数 2．函数周期性常用结论（自变量x的系数相同） 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)等差型与等比型的周期： ①若函数满足f (x-1)+f (x+1)=f (x)，则函数的周期是T=6 ②若函数满足f (x-1)*f (x+1)=f (x)，则函数的周期是T=6 (4)周期与对称的关系：若函数y=f (x)定义域为R,满足f (a-x)=f (a+x) ①若函数y=f (x)是偶函数，则函数的周期是T=2a ②若函数y=f (x)是奇函数，则函数的周期是T=4a ③函数y=f (x)的图象关于直线x=a和x=b都对称，则函数y=f (x)的周期T=2|a-b| ④函数y=f (x)的图象关于直线x=a和点(b，0)都对称，则函数y=f (x)的周期T=4|a-b| 周期性的本质是函数值的重复，因此等号两边x的符号相同；对称性的本质是函数图象的翻折变化，因此等号两边x的符号相反. 3．导数与导函数的对称性 （1）若函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则导函数f’(x)的图象关于点(a,0)对称。 若函数f(x)的图象关于点(a，f(a))对称，则导函数f’(x)的图象关于x=a 对称。 （2）若f’(x)的图象关于直线x=a对称，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称 若f’(x)的图象关于点(a，0)对称，则f(x)的图象关于直线 x=a对称。 【设计意 ... ...