《1.1.1空间向量及其线性运算》教案

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法、向量的模和方向； 2.理解并掌握空间向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘运算； 3.理解空间向量共线（平行）的充要条件及共线向量定理. 重点：空间向量的线性运算． 难点：空间向量共线的判断及其应用． （一）创设情境 思考：滑翔伞运动是一项极具观赏性、 竞技性、 娱乐性和刺激性， 而且是一种休闲娱乐型比赛项目， 它风靡了世界各地.在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然，这些力不在同一个平面内. 联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢 师生活动：教师展示生活中与空间向量有关的实例， 然后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示. 设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：探究空间向量的概念 探究1：平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？ 平面向量 空间向量 概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量. 表示 有向线段 字母，， … 坐标表示： 有向线段， 字母，， … 坐标表示： 答：空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 长度（模）：向量的大小，记作或. 师生活动：小组内交流，并汇报展示. 设计意图：学生通过回忆平面向量的知识，将知识迁移到空间向量中，同时让学生思考完成相关问题，让学生加深对空间向量概念的理解与运用. 探究2：在学习平面向量时，还学习了一些相关的概念，你还记得有哪些吗？空间向量中这些概念适用吗？ 平面向量 空间向量 零向量 长度为的向量，记作，的方向是任意的. 单位向量 模为的向量 相等向量 模相等，方向相同的向量，记作 相反向量 模相等，方向相反的向量，记作 共线向量 方向相同或相反的向量叫做共线向量（平行向量）， 记作： 零向量与任意向量共线. 若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作： 规定：零向量与任意向量共线. 概念的本质是一样的. 思考1：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？ 答：如图，已知空间向量， 以任意点为起点，作，， 我们就可以把它们平移到同一个平面内. 这样就使得空间向量问题可以转变成平面向量解决. 这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算. 我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： ； ； 当时，； 当时，； 当时，. 追问：向量线性运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 答：无关. 思考2：空间向量与平面向量是否也有相同的运算率？ 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中，） 交换律：； 结合律：；； 分配率：； 【合作探究】 1.你能证明这些运算律吗？ 2.证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？ 3.先独立思考，再组内交流，并选派代表全班展示. 答：空间向量的加法结合律： 证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向 ... ...