《1.1.2空间向量的数量积运算》教案

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量的数量积 1.掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 重点：空间向量的数量积运算. 难点：利用空间向量解决夹角、距离等问题． （一）创设情境 1.空间中共线向量的定理是什么？ 对任意两个空间向量与，的充要条件是存在实数，使. 2.共面向量基本定理是什么？ 对空间任意两个不共线的向量，，向量与向量，共面充要条件是存在唯一的有序数对，使. 3.四点共面的充要条件是什么？ 与，， 共面，() 我们知道平面向量及其线性运算可以推广到空间向量及其线性运算，那么空间向量的数量积是否也可以类比平面向量得出呢？ 想一想：回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？ 在平面向量中，先研究夹角的定义，数量积的定义、运算律，最后数量积的应用. 我们是不是也可以按照此思路来研究空间向量的数量积呢？ 师生活动：教师提出问题，让学生思考回答，引导学生类比研究平面向量数量积的思路思考空间向量的数量积. 设计意图：通过复习空间向量的基本定理，类比平面向量的线性运算，自然引申出本节课的教学重点———空间向量的数量积运算. （二）探究新知 任务1：空间向量的数量积. 探究：空间任意两个向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，思考平面中的两个向量， ，它们的夹角是如何定义的？范围呢？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 已知两个非零向量， ，在空间任取一点，作，，则叫做向量， 的夹角，记作. 规定：≤≤. 这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且. 思考:当两个向量平行或垂直时，它们的夹角是多少？ （1）当时， 与 同向， ∥ ； （2）当时， 与 反向， ∥ ； （3）当时，我们说 与 垂直，记作 . 设计意图：通过类比平面向量的夹角定义，得到空间两向量的夹角公式，让学生更加深刻、形象地掌握空间向量夹角的定义，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 探究：空间中，两个非零向量， ，它们的数量积是如何定义的？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，我们把数量叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ， 即 规定：零向量与任一向量的数量积为，即； 注意：数量积运算中间是“”，不能写成“”，也不能省略不写. 思考：根据空间向量数量积的定义，你能得出哪些性质呢？ 设两个非零向量 与 ，它们的夹角为，由向量数量积定义 可得如下的性质 ①；证明垂直 ②,则有；求长度 ③；求夹角 设计意图：通过类比平面向量，得到空间两向量的数量积定义及性质，让学生更加深刻、形象地掌握空间向量的数量积定义及性质，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 任务2：空间向量的投影 思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间中，向量向向量的投影有什么意义？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 如图，在空间，向量向向量的投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，且 向量称为向量 在向量上的投影向量. 追问：向量向直线的投影呢？ 类似地，如图 ，在空间，向量向直线的投影，由于向量是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与直线共线的向量，且 （为直线的共线向量，且） 向量称为向量在直线的投影. 追问：向量 向平面的投影呢？ 向量向平面的投影，就 ... ...