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课件网) 3.1.1 椭圆及其标准方程 教学目标 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，标准方程。 3.通过对椭圆及其方程的学习，进一步体会数形结合的思想，提升学生直观想 象，数学运算的核心素养。 教学重点：椭圆的几何特征，椭圆的标准方程 教学难点：椭圆几何特征的发现，椭圆标准方程的推导。 引入新知 椭圆是一种很美的数学曲线，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用．例如，神舟十三号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道．那么，椭圆上的点满足什么条件，如何精确地画出一个椭圆呢？今天我们来研究一番． 探究新知 探究： 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1,F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 探究新知 问题1：在笔尖移动的过程中，变化的量是什么？不变的量又是什么 认真思考，前后四人一组讨论，讨论时间：5分钟 要求：将随机邀请一位同学分享你们的讨论结果 并用简洁的数学语言描述如何才能画椭圆 问题2：这个常数/MF1/+/MF2/与两个定点间的距离/F1F2/有什么大小关系？请给出具体 的解释。 问题3：至此，我们在了解了椭圆的几何特征之后。那么椭圆的定义是什么？ 椭圆的定义 平面内与两个定点（F1,F2)的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的 轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注意 1.和———任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数; 2.常数———常数必须大于焦距. 新课讲授 新课讲授 问题：形成定义之后，接下来就要建立椭圆的方程。类比圆的方程的建立，如何建 立椭圆的方程呢？用坐标法求曲线方程的步骤有哪些？ 追问： ①建系 ②找等式关系 ③符号化 ④化简与标准化 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？ O x y 图1 O x y 图2 以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． 由椭圆定义可知 化 代 设 建 F1 F2 x y M( x , y ) 椭圆的焦距为2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0). 则： O 椭圆标准方程的推导 限 限制条件为： 两边同除以 得 又设M与F1， F2的距离的和等于2a F1 F2 x y M( x , y ) 新课讲授 新课讲授 y o F1 F2 M x 两类标准方程 o F2 y x F1 M (x,y) (x,y) a, b, c三者中a最大， 哪个变量对应的分母大，焦点就在哪个轴上 典例讲解 例题1 解析 已知椭圆的两个焦点坐标分别是， 并且经过点 ,求它的标准方程. 思考： 还能用其他方法求 例题1 中的标准方程吗？ 尝试着比较不同方法的特点. 典例讲解 思考： 还能用其他方法求 例题1 中的标准方程吗？ 尝试着比较不同方法的特点. 两种解法的特点： 解法一：从几何角度，结合椭圆定义，计算出a,b的值，从而得到椭圆标准方程； 解法二：从代数角度，利用点在图象上，代入标准方程，建立关于a,b的方程组，解方程组得到a,b的值，从而从而得到椭圆标准方程。 相比较：解法二的计算了比解法一的计算量大很多。 典例讲解 跟踪练习 已知椭圆的两个焦点坐标分别是， 并且经过点 ,求它的标准方程. 解析 由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ，由椭圆的定义知 c=1 所以 所以所求椭圆的的标准方程为 典例讲解 变式练习 已知椭圆的两个焦点坐标分别是， 并且经过点 ,求它的标准方程. 解析 由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 ，由椭 ... ...
