《1.3.1空间直角坐标系》教案

第一章 空间向量与立体几何 1.3.1空间直角坐标系 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标，会用坐标表示空间向量. 2.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题. 重点：空间直角坐标系的建立和向量坐标的确定. 难点：空间向量坐标的确定． （一）创设情境 情境：观察图片教室里的灯，灯能看成一个点吗？还是向量呢？ 答：可以看成一个点. 情境：我们学习了哪些表述点的方法，你能举出这些方法在生活中的应用吗？ 思考：那么，空间中点的位置要如何表述呢？ 师生活动：教师引导学生思考回答教室内的灯具体位置应如何表示，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示，同时学生带着这一问题探究新课内容. 设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：探究空间直角坐标系的建立. 思考1：我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的两条数轴组成．如果利用单位正交基底概念，应该怎样理解平面直角坐标系呢？ 答：如图1.3－1，在平面内选定一点О和一个单位正交基底，以O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系. 思考2：我们能不能仿照平面直角坐标系，建立空间直角坐标系呢？ 要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 答：类似平面直角坐标系，在空间选定一点O和一个单位正交基底(如图1.3－2)．以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.如无特殊说明，建立的坐标系都是右手直角坐标系. 思考3：通过每两条坐标轴的平面称为什么，把空间分成了几个部分呢？ 答：通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx 平面，它们把空间分成八个部分； 注意： 1.一般使 ，. 2.在y轴、z轴上的长度都取原来的长度，而在x轴上的长度取原长度的一半，即x轴上的单位长度在平面内表现出来时是y轴、z轴上的单位长度的一半. 设计意图：通过思考问题，让学生体会理解空间直角坐标系建立的基本概念. 任务2：探究空间点和向量的坐标表示 探究1：类比平面直角坐标系确定点坐标的方法，怎样确定空间一点的坐标？ 在空间直角坐标系Oxyz中(图1.3－3)，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z)，使 思考1；点A的坐标怎么表示，它的横、纵、竖坐标与谁对应？ 答：在单位正交基底下与向量对应的有序实数组（x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 在空间直角坐标系Oxyz中，给定作，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z)，使 有序实数组（x，y，z)叫作a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=（x，y，z) 思考2：设是空间中任意两点，则的坐标是什么？ 探究2：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标(x，y，z)吗 请证明. 证明：如图1.3－5，过点A 分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D. 向量在x轴、y轴、z轴上的投影分别为，，，且. 设点B，C，D在x轴、y轴、z轴上的坐标为x，y，z 则，即点A的坐标为. 设计意图：通过类比平面直角坐标系，引导学生探究空间中向量的坐标确定过程，让其自己经 ... ...