1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 教案（共3课时）

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行平面的距离问题； 2.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体距离问题的解决； 3.能用向量方法解决具体问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用； 4.归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养. 重点：点到直线的距离的向量表示与点到平面的距离的向量表示． 难点：点到在线的距离、点到平面的距离、两条平行直线之间的距离、直线到平面的距离之间的相互转化． （一）创设情境 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点, 修一条公路到达点, 要想使这个路线长度理论上最短, 应该如何设计？ 师生活动：教师展示生活中空间角的实例，之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化. 设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 思考：空间中包括哪些距离 两点间的距离、点到直线的距离、两平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离. 问题1：这些距离问题如何归类？ 两点间的距离 问题2：如何用向量研究距离？ 距离 向量的模 空间两点间的距离 空间向量的模 空间中其他距离 投影向量/勾股定理 设计意图：明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题, 明晰要素，向量表示，探究点到直线的距离. 任务1：用向量方法求点到直线的距离 探究：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？ 要求：1.先独立思考2分钟； 2.小组内交流讨论； 3.以小组为单位进行展示汇报. 追问1：问题中有哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？ 如图1.4-16，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形． 追问2:作出点到直线的距离,向量与点到直线的距离之间有什么关系 师生活动:学生自主探究,得出向量及其在直线上的投影向量与之间的关系,得到. 因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的．于是可求．再利用勾股定理，可以求出点到直线的距离． 师生活动:教师引导学生用向量表示问题中的点和直线两个几何要素.用直线上任意一点和点构成向量,建立点与直线的关联;直线由一个点和一个方向向量确定,可以取单位方向向量表示直线的方向向量. 设，则向量在直线上的投影向量． 追问3:你能借助图形,用向量方法求出点到直线的距离吗 在中，由勾股定理，得 思考1:类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 师生活动:教师先引导学生得出在直线上的投影向量的表达式,进而在中,由勾股定理得点到直线的距离公式,讨论得出将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 设计意图:让学生感悟转化思想,化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离,在思想方法上作铺垫. 任务2：用向量方法求点到平面的距离. 探究：类似于点到直线的距离,如何求平面外一点到平面的距离 要求：1.小组内交流讨论； 2.以小组为单位进行展示汇报； 3.师生共同归纳总结. 如图1.4-17，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点． 追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定,确定一个平面的条件是什么 师生活动:由学生回答. 追问2:你能类比求点到直线的距离的方法,利用向量投影求出点到平面的 ... ...