《2.1.1倾斜角与斜率》教案

第二章 直线和圆的方程 2.1.1倾斜角与斜率 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系. 难点：过两点的直线斜率的计算公式. （一）创设情境 思考：通过白沙大桥和青山大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？ 师生活动：教师给出图片，并提出问题，引导学生结合初中学习的几何知识进行回顾与思考. 设计意图：通过生活中的现实情境，提出问题，帮助学生建立倾斜角与斜率的概念，引导学生回顾初中坡脚概念及三角函数知识，为直线倾斜角和斜率作知识上的准备. （二）探究新知 任务1：倾斜角相关概念. 思考：(1)回顾平面几何的学习，我们研究图形的方法是什么？ (2)在平面直角坐标系中我们已经会用有序数对表示点的位置，那么如何表示直线呢 （提示：确定一条直线的几何要素是什么？） (3)观察图中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？ 答：(1)综合法：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算； (2)根据直线的特征，由两点确定一条直线可知，确定一条直线的几何要素是：两个点或一点和一个方向； (3)规定：平面直角坐标系中，水平直线的方向向右； 区别：各直线相对于x轴的倾斜程度不同；即直线向上的方向与x轴的正方向所成的角不同. 说一说：如何表示这些直线的方向呢？ 总结： 定义：当直线与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0° 倾斜角的范围：0°≤α<180° 作用：表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可. 师生活动：教师提出问题，引导学生总结分析，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解，几何的基本思想方法就是数形结合.再此基础上，教师进一步提出问题，如何用具体数据刻画直线的倾斜程度呢？引导学生进行下一个任务的学习. 点睛：倾斜角还可以这样定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 设计意图：由坐标系中的直线，让学生理解直线倾斜角和斜率的概念.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 任务2：斜率的相关概念 探究：前面学习了倾斜角的有关概念，试想直线与倾斜角之间还有怎样的关系？在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. (1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ (3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 师生活动：先独立思考，再合作交流 答：对于问题(1)，向量，且直线的倾斜角为.由正切函数的定义，有 对于问题(2)，向量. 平移向量到，则点的坐标为， 且直线的倾斜角也是.由正切函数的定义，有 对于问题(3)，一般地，当向量的方向向上时， 且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有 同样，当向量的方向向上时，如图，，也有 思考：1.当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 答：不成立，此时，无意义. 2.当直线与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 答：成立，此时，. 3.已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？ 答：无关，当顺序改变时，，直线的斜率不变. 【概念形成】 斜率：综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：.① 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做 ... ...