《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》教案

第二章 直线和圆的方程 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 1.掌握两条直线平行的判定方法； 2.掌握两条直线垂直的判定方法； 3.结合具体的问题情境，掌握两条直线平行和垂直判定方法的应用. 重点：借助两直线倾斜角和斜率的概念，使用数形结合的方式，让学生准确快速的理解并掌握两直线平行和垂直的判定方法. 难点：在掌握两直线平行和垂直判定方法的基础上，通过具体的问题情境，让学生掌握相关判定方法的应用，提高学生的数学建模素养. （一）创设情境 1.为了保证交通的畅通和安全，每个车道都应该设计成相互平行的.将每个车道看作是一条直线，如何判断两个车道是否平行呢？ 2.在建筑中，为了确保结构的稳定性和安全性，很多构件（如墙与地面、梁与柱）都设计成互相垂直的结构.将房梁与承重柱看作是两条直线，用数学的思想，如何判定它们互相垂直呢？ 师生活动：教师给出几个生活中常见的现象，并提出问题，引导学生结合生活实际对本节课的相关内容进行思考. 设计意图：通过日常生活中常见的事物，引出本节课的内容.使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，让数学变得不再枯燥乏味. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：两直线平行的判定方法. 思考：平面中的两条直线有哪几种位置关系？ 答：相交和平行（相交和不相交）； 思考：前面我们已经学习了两条直线的倾斜角与斜率，你能尝试回忆它们的相关概念吗？ 答：倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；斜率：直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tanα. 思考：观察下图，思考这两条平行的直线之间，斜率存在什么样的关系？ 答：由图可知，两条平行线，的倾斜角α1=α2，因为斜率k=tanα，所以这两条平行的直线之间斜率相等，即∥ =. 思考：两条斜率相同的直线，具有什么样的位置关系，你能将它们在平面直角坐标系中画出来吗？ 答：由于两条直线的斜率相同，所以这两条直线的倾斜角也相同.即= ∥. 思考：你还有其他判定两直线平行的方法吗？设出两条直线的方向向量a，b，尝试证明= ∥. 答：设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别为a=（1，），b=（1，）.于是，∥ a∥b，由a∥b可得1×=1×，即=.所以证得= ∥. 思考：以上是直线斜率存在的情况，如果两直线的斜率都不存在，这两条直线是否也平行，请你画出图并证明. 答：画出如图所示图象，由于= = ，所以两直线的斜率都不存在.由于，都垂直于同一条直线x轴，显然存在∥.所以当两直线的斜率都不存在时，这两条直线也平行. 总结： 两直线平行的判定方法： （1）对于斜率分别为，的两条直线，，有∥ =. （2）当= = 时，直线的斜率不存在，此时∥. 师生活动：教师提出问题，引导学生思考.学生之间可以进行小组讨论，在此过程中，教师进行适当的纠正或者补充.通过回顾之前的学习内容，建立知识之间的联系，帮助学生更好的理解本节课内容.最后教师提出如何判定两直线平行，在同学讨论之后，及时给出相关的证明过程并做出知识点总结，引导学生进一步理解. 设计意图：通过练习之前学习的知识，建立知识点之间的联系，逐步引导学生探讨掌握两直线平行的判定方法，进而开始展开课程. 任务2：两直线垂直的判定方法 思考：平面中的两直线相交与斜率之间的关系 答：当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交. 师生活动：教师提出问题，引出两直线垂直与斜率之间的关系： 教师提问：在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线，垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系 下面让我们探讨如 ... ...