备战2025年高考数学一轮复习专题：空间几何体的表面积与体积（知识梳理、典型例题、跟踪训练）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 备战2025年高考数学一轮复习专题：空间几何体的表面积与体积（知识梳理、典型例题、跟踪训练） 一、单选题 1．若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥满足，，，且其表面积为24，若点（正投影在内部）到，，的距离相等，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（ ） A．1 B． C． D． 4．如图所示，正方体的棱长为2，点分别为的中点，则（ ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成的角为 5．已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为，若再往容器中放入一个半径为的实心铁球，则此时水面的高度为（ ） A． B． C． D． 6．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（ ） A．1 B． C．2 D． 7．如图甲，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，四面体的体积为V，点M为棱的靠近B的三等分点，点F分别为线段的中点，点N为线段的中点，过点N的平面与棱，，分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A．存在点M，使得二面角大小为 B．最大值为6 C．直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D．当时，则三棱锥的体积为定值. 10．在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A．直线平面 B．直线与平面所成角的正切值为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为9 11．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ） A． B．二面角的正切值的最大值为2 C．三棱锥的体积为定值 D．三角形的周长最大值为 三、填空题 12．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ，体积为 . 13．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为，左右两端均为半球形，其半径为，若其体积为定值，则胶囊的表面积取最小值时 . 14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是 ． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． (1)若是的中点，求证：直线平面； (2)若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 16．在如图所示的平行六面体中，，． (1)求的长度； (2)求二面角的大小； (3)求平行六面体的体积． 17．如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)求三棱锥的体积. 18．在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点. (1)证明：平面； (2)已知，F为线段AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台的体积； ②求与平面所成角的正弦值的最大值. 19．在四面体中，钝角的三边均为整数且满足. (1)求的外接圆半径. ... ...