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课件网) 高考数学一轮复习 余弦定理、正弦定理 ◆ 知识聚焦 ◆ 1. 正、余弦定理 在中，内角，，所对的边分别是，，，为 外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 公 式 ； ； 正弦定理 余弦定理 常 见 变 形 ， ， ； #b# ，， ； #b# ； #b# , , #b# ； ； 续表 2. 在中，已知，和 时，解的情况 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 3. 面积公式 ； 是的内切圆半径，是 的外接圆半 径，并可由此计算， . 常用结论 1.正弦定理的应用 ①边化角，角化边 . ②大边对大角，大角对大边 . ③合分比： 是 的外接圆半径). 2.内角和定理： . . 同理有：， . . ③斜三角形中， . ； . ⑤在中，内角，，成等差数列, . ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1. 在中，，，，则 _ ___. [解析] 在中，设，， ， 则由余弦定理得， 因为为 的内角，所以 . 2. 已知的内角，，的对边分别为，，，若 的 面积为4，， ，则 ___. 8 [解析] 由，得 . 3. 在中，已知， ， ，则边 _ _____. [解析] ， 由正弦定理，得 ，得 . 4.［教材改编］ 在中，内角，，的对边分别为，，，若 ， 且，则 ___. [解析] 由余弦定理可得，化简整理得 ， 则，又，所以 . 题组二 常错题 5.在中,若,则,的大小关系为_____;若,则 , 的大小关系为_____. [解析] 根据正弦定理知,在中， , . 6.在中，内角，，的对边分别为，，，已知 ， ， ，则 _____. 或 [解析] 由正弦定理得， 因为， ，所以 或 . 7.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,, ,则 _ ____, ___. 1 [解析] . 由余弦定理得,所以 . 探究点一 利用余弦定理、正弦定理解基本量问题 例1 在中，内角,,所对的边分别为,, ，且 ，， ． （1） 求 的面积； 解：因为在中，， ， 所以 ， 故的面积为 . ［思路点拨］先算出 ，然后直接由三角形的面积公式求解即可; （2） 求及 的值． 解： 在中，，， ， 所以由余弦定理得 ， 又，所以. 由（1）可知，所以由正弦定理得 ， 即，解得 . ［思路点拨］先由余弦定理求出，然后由正弦定理求解 即可. 变式题1（1） [2023·全国乙卷] 在中，内角，，的对边分别是, , ,若,且,则 ( ) C A. B. C. D. [解析] 方法一：因为 ， 所以由正弦定理得，即， 所以 或 （舍）. 因为， ，所以.所以 .故选C. 方法二：由余弦定理得，整理得 ， 所以为直角三角形，且，又，所以 .故选C. （2） [2023·北京卷] 在中， ， 则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 ， 所以由正弦定理得，即， 则 ，故， 又 ，所以 .故选B. （3） 记的内角，，的对边分别为，，，面积为 ， ，，则 _____. [解析] , , 根据余弦定理得, . 变式题2 [2023·天津卷] 在中，角，，所对的边分别是,, .已知 ,, . （1） 求 的值； 解：因为 ,所以，都为锐角，且 . 由正弦定理得,所以,解得 . （2） 求 的值； 解： 由余弦定理得,所以 , 整理得,解得或（舍），所以 . （3） 求 . 解： 方法一：因为，为锐角，所以 , 所以 . 方法二：因为,为锐角，所以. 由正弦定理得 ,所以,解得, 又为锐角，所以 , 所以 . 探究点二 利用余弦定理、正弦定理判定三角形的形状 例2（1） 在中,若,则 是( ) B A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形 [解析] , ， ,， ,， .故选B. ［思路点拨］根据正弦定理可得，整理可得 ， 又由，可得 ，即可得解. （2） 在中，已知，且 ，则该三角 形的形状是( ) C A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 [解析] ，，又， . 由，得，，即 ， 又， 该三角形为等边三角形. ［思路点拨］首先利用余弦定理求出角 ，再利用正弦定理与余弦定理将 化简得到， 的关系，进而判断出三角形形状. 变式题（1） （多选题）已知的内 ... ...
