2023-2024学年山东省青岛市即墨区高一（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，且，则( ) A. B. C. D. 3.某校高一、高二、高三的人数之比为：：，从中随机抽取名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为( ) A. B. C. D. 4.如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是( ) A. 数据中可能存在极端大的值 B. 这组数据是不对称的 C. 数据中众数一定不等于中位数 D. 数据的平均数大于中位数 5.已知直线，与平面，，，能使的充分条件是( ) A. ， B. ，， C. ， D. ， 6.将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是( ) A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 是的一个零点 D. 是的一个单调减区间 7.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是( ) A. B. C. D. 8.函数的图象如图所示，则的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，复数，则( ) A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10.已知向量，满足，，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 最大值为 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量坐标为 11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为的正方形，则( ) A. 该几何体的体积为 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 异面直线与的夹角余弦值为 D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一组数据：，，，，，，，，，，，，，的众数为，第三四分位数为，则 _____． 13.从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是_____． 14.已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点，设，． 若，，，求与的夹角． 若， 与夹角余弦值； 判断四边形的形状，并说明理由． 16.本小题分 某滑雪场开业当天共有人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． 求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ 由频率分布直方图估计样本平均数 和中位数；求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替 在选取的这人样本中，从年龄不低于岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点． 求证：平面； 求四棱锥的体积． 18.本小题分 记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． 求； 求； 若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 19.本小题分 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得其中，，，，，则称为的“重覆盖函数” 判断，是否为，的“重覆盖函数”，并说明理由； 若，是，的“重覆盖函数”，求的范围； 若，，是，的“重覆盖函数”，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解 ... ...
