3.3.3 抛物线的方程及性质的应用 课后训练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.3　抛物线的方程及性质的应用 A级———基础过关练 1．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，该抛物线上点P的横坐标为2，则|PF|＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A． B． C． D． 5．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 6．(多选)下列直线过点(－3，2)，且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的是(　　) A．x＝－3 B．y＝2 C．x－3y＋9＝0 D．x＋y＋1＝0 7．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为_____． 8．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为_____． 9．已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝_____． 10．已知抛物线y2＝2px(1＜p＜3)的焦点为F，抛物线上的点M(x0，1)到准线的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值． B级———综合运用练 11．(多选)已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，则下列说法正确的有(　　) A．当k∈(－1，1)时，直线l与抛物线C有两个交点 B．当k＝0时，直线l与抛物线C有一个交点 C．当k＝±1时，直线l与抛物线C有一个交点 D．当k＞1或k＜－1时，直线l与抛物线C无交点 12．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线l：y＝kx＋b(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M(0，4)，则抛物线C的方程是_____；若直线l过点F，则k＝_____． 13．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9． (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值． C级———创新拓展练 14．设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点． (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)求证：∠ABM＝∠ABN． 答案解析 1、【答案】B 【解析】当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条． 2、【答案】D 【解析】设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0． 3、【答案】C 【解析】抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，点P的横坐标是2，所以|PF|＝2＋1＝3． 4、【答案】D 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4①．因为|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2②．由①②，得x2＝1或x2＝－2(舍去)，所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝． 5、【答案】B 【解析】如图，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|．所以在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b．由余弦定理，得|AB|2＝a2＋b2－2ab cos 60°＝a2＋b2－ab，配方，得|AB|2＝(a＋b)2－3ab．又因为ab≤，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，得到|AB|≥(a＋b)＝|CD|．所以≥1，即的最小值为1． 6、【答案】BCD 【解析】显然，直线的斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由得ky2－4y＋8＋12k＝0①．当k＝0时， ... ...