复数 练习卷-2025届高三数学一轮复习（含答案）

2025届高三数学一轮复习复数练习卷 一、单选题 1．若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数（i为虚数单位，），若，则（ ） A．4 B．2 C． D． 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．若复数，则在复平面内的对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知复数满足，则复数的虚部为 A． B． C． D． 6．任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ） A． B． C． D．1 7．已知复数满足，则的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 8．欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若复数满足，则是纯虚数 10．已知是关于的方程的两根，则（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．已知复数，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 三、填空题 12．计算： . 13．已知向量对应的复数为，把绕原点O按顺时针方向旋转后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为 (用代数形式表示)． 14．已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则 ， .（写出满足条件的一组和） 四、解答题 15．已知复数，为虚数单位. （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值. 16．已知复数满足，其中为虚数单位. (1)求； (2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 17．已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 18．已知复数z满足，z2的虚部为2. (1)求复数z； (2)设在复平面上的对应点分别为A B C，求△ABC的面积. 19．对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B B B B A AD ACD 题号 11 答案 AC 12． 13．. 14． 15．解：（1）复数 ， ． （2）复数是关于的方程的一个根， ，即 ， 解得，． 16．（1）设，则， 故， 所以解得：， ∴； （2）由（1）得：， 因为四边形是复平面内的平行四边形 所以 故点对应的复数为. 17．（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 18．（1）设， ①， 的虚部为，所以②， 由①②解得或. 所以或. （2）当时，，， 所以， ， 所以三角形的面积为. 当时，，， 所以， ，所以三角形的面积为. 19．（1）由题意得， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即 ... ...