3.1.2 空间两点间的距离公式（15页）课件 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修1

(课件网) 3.1.2 空间两点间的距离公式 1.了解推导空间两点间的距离公式的过程. 2.会用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离. 思考：在空间直角坐标系中，两点间的距离与两点的坐标有何关系 在空间直角坐标系中，给定P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点. 特殊情况：若其中一点为原点，不妨设点Q为原点O，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，则被各坐标平面所截可得长方体A1P1C1O-APCB(如图1)，且长方体的棱长满足|OA1|=|x1|，|OC1|=|y1|，|OB|=|z1|. 图1 由图1可知，P，O两点间的距离就是长方体A1P1C1O-APCB的对角线PO的长度. 根据长方体对角线的长与各棱长的关系，得|PO|2=|OA1|2+|OC1|2+|OB|2， 即 由上述方法得到启发：空间中两点间的距离可以转化为长方体对角线的长度. 图1 一般情况：对于空间任意P，Q两点，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，过点Q也分别作与三条坐标轴垂直的平面(如图2)， 当这六个平面均不重合时，它们围成一个长方体PCBA-EFQD，且长方体的各棱所在的直线均与某条坐标轴平行或重合. 由图易知，C，B两点的坐标分别为(x1，y2，z1)，(x2，y2，z1)， ∵CB平行于x轴，∴|CB|=|x2-x1|. 同理有|PC|=|y2-y1|，|BQ|=|z2-z1|. 图2 图2 ∴|PQ|2=|CB|2+|PC|2+|BQ|2， 即 当这六个平面中至少有两个平面重合时，不妨设垂直于轴的两个平面重合(z1=z2)，作出其余四个平面与xOy平面的交线(如图3). 易证明：四边形PQQ1P1为矩形或线段PQ与P1Q1重合，∴|PQ|=|P1Q1|. 图3 图3 由图3易知，P1，Q1两点的坐标分别为(x1，y1，0)，(x2，y2，0)， 再根据平面上两点间的距离公式，有 于是仍有 归纳总结 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为 这就是空间两点间的距离公式. 例1:已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)． (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度． 解：(1)由空间两点间距离公式得 |AB|＝＝3， |BC|＝＝， |AC|＝＝， ∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为. 例1:已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)． (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度． (2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为(2，3，)， ∴AC边上中线的长度为＝. 1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键． 2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算． 归纳总结 例2:设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离是到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标. 解：∵P在x轴上，∴设P点坐标为(x，0，0)， 又∵|PP1|＝2|PP2|， ∴， ∴x＝±1， ∴点P坐标为(1，0，0)或(－1，0，0). 由空间两点间距离求点的坐标的方法： 归纳总结 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解. 1.在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|＝，则实数a的值是(　　) A．3或5 B．－3或－5 C．3或－5 D．－3或5 2.已知点A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 3.如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1，1，1)的距离是 ． A B 或 空间两点间距离公式是什么？回顾其推导过程. ... ...