内蒙古自治区赤峰市2025届高三模拟考试期中数学试题（PDF版，含答案）

赤峰市 2024 年高三 11 20 模拟测试 参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C A B C 题号 9 10 11 答案 ABD AD ACD 1 3 12. [ ,1] 13. 2025 14. 3 6 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分） 已知 a,b,c分别为△ABC 三个内角 A, B,C 的对边，且 a cosC + 3a sin C b c = 0 . （1）求 A； （2）若 a = 2 3 ，△ABC 的面积为 2 3 ，求b,c . 【详解答案】 （1）由正弦定理可将 a cosC + 3a sin C b c = 0 化为 sin AcosC + 3 sin Asin C sin B sin C = 0 ， ………………（2 分） 其中 sin B = sin(A+C) = sin AcosC + cos Asin C ， 可得 3 sin Asin C cos Asin C sin C = 0， ………………（4 分） 1 在△ABC中， sinC 0，可得 3 sin A cos A 1= 0，由辅助角公式可得 sin(A ) = ， （6 分） 6 2 可得 A = . ………………（7 分） 3 1 1 3 （2）△ABC 的面积为 S = bcsin A = bc = 2 3 ，可得bc = 8， ………………（9 分） 2 2 2 b2 + c2 a2 由余弦定理 cos A = ，可得b2 + c2 = 20 ， ………………（11 分） 2bc 综上b = 2,c = 4或b = 4,c = 2 . ………………（13 分） 第1页 / 共6页 16.（本小题满分 15 分） 1 已知幂函数 f (x) 的图象过点 (3,9)， g(x) = ( ) x k . 2 （1）求 f (x) 的解析式； （2）记 f (x), g(x)在区间[1,2)上的值域分别为 A, B，若 x A是 x B的必要条件，求实数 k 的取 值范围； f (x)+2kx + k （3）设 h(x)= ，对 x1 [0,1]， x2 ( ，0)使得 g(x1)≤ h(x2 ) 成立，求正实数 k 的 x 最小值. 【详解答案】 m m （1）设幂函数 f (x) = x ，由题意3 = 9，即m = 2 ， 2 即函数 f (x) 的解析式为 f (x) = x . ………………（2 分） 2 （2）由题意 f (x) = x 在区间[1,2)上的值域为[1,4)， ………………（3 分） 1 x 1 1 而函数 g(x) = ( ) k 区间[1,2)上的值域为 ( k, k]， ………………（4 分） 2 4 2 由 x A是 x B 1 1 的必要条件可知 ( k, k] [1,4) ， ………………（6 分） 4 2 1 1 7 3 即 k ≥1且 k 4，解得 k ≤ . ………………（8 分） 4 2 2 4 f (x)+2kx + k x2 +2kx + k k （3）由题意 h(x)= = = x + 2k + （ k 0）， ………………（9 分） x x x 对 x1 [0,1]， x2 ( ，0)使得 g(x1)≤ h(x2 ) 成立，可得 g(x)max ≤ h(x)max ， ………………（11 分） 1 x 在区间 [0,1]上， g(x) = ( ) k 的最大值为1 k ， ………………（12 分） 2 k 在区间 ( ,0) 上， h(x) = x + 2k + 的最大值为 2k 2 k ， ………………（13 分） x 1 令1 k ≤ 2k 2 k ，可得3k 2 k 1≥ 0，解得 k ≤ （舍）或 k ≥1， 3 即 k ≥1，即正实数 k 的最小值为 1. ………………（15 分） 第2页 / 共6页 17.（本小题满分 15 分） x 1 3 已知函数 f (x) = 3acos2 + asin x a（ 0 ，a 0）在一个周期内的图象如图所示， 2 2 2 其中点 A 为图象上的最高点，点 B，C 为图象与 x 轴的两个相邻交点，且△ABC 是边长为 4 的正三角形. （1）求 ω与 a 的值； 4 1 （2）将函数 f (x)的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数 3 2 1 π y = g(x) 3的图象；若 g(2 ) = ， (0, )，求 cos( )的值. 3 2 3 【详解答案】 T 2 （1）由已知可得 f (x) = a sin( x + ) BC = = 4 T = 8 = = ， …………（3 分） 3 2 8 4 3 由题图可知，正三角形 ABC 的高即为函数 f (x) 的最大值 a ，则a = BC = 2 3 . …………（6 分） 2 4 （2）由（1）可知 f (x) = 2 3(sin x + ) ，由函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度， 4 3 3 1 再把横坐标变为原来的 ，得 y = g(x) 图象可知： g(x) = 2 3 sin x ， ………………（10 分） 2 2 3 1 由g(2 ) ... ...