专题2.3 三角形的内切圆六大题型（一课一讲）2024-2025九年级下册数学同步讲练【浙教版】（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题2.3 三角形的内切圆六大题型（一课一讲） 【浙教版】 题型一：直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 【经典例题1】如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为， ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 【变式训练1-1】如图， ABC的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形为正方形，利用直角三角形的内切圆的半径的计算公式，求出的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ∵与，，分别相切于点，，， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练1-2】在 ABC中，，，则 ABC的内切圆的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图， 则：四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式训练1-3】如图，在 ABC中，，是 ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出， 根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接、． ∵内切于 ABC， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴．． ∵内切于 ABC， ∴，， ∵，， ∴，， 在中， 即． 解得：，（舍去）， 故的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键． 【变式训练1-4】如图，在中，， ABC的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 【变式训练1-5】如图， ABC中，，， ABC，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件证明，，利用三角形面积比解答即可．本题主要考查了三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键． 【详解】解：令，，， 在中，， 可得：， ， ， 又， ， ， 即：， ， 同理可得：， ， ， 即：， ∵，，的内切圆半径分别记为，，， ，，， ； ， ，， ． 故答案为：． 题型二：圆外切四边形模型 【经典例题2】如图，是四边形的内切圆．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形 ... ...